2018高考数学一轮复习文科训练题月月考一-有答案和解释.docx

月月考一　集合与常用逻辑用语、函数、导数及应用 第Ⅰ卷　(选择题　共60分) 　　　　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016•新课标全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　) A．(－3，－32) B．(－3，32) C．(1，32) D．(32，3) 答案：D 解析：由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＞32}，则A∩B＝(32，3)．选D. 2．(2018•陕西一检)设集合M＝{x||x－1|≤1}，N＝{x|y＝lg(x2－1)}，则M∩∁RN＝(　　) A．[1,2] B．[0,1] C．(－1,0) D．(0,2) 答案：B 解析：M＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|y＝lg(x2－1)}＝{x|x＞1或x＜－1}，∴M∩∁RN＝{x|0≤x≤1}，故选B. 3．(2017•北京卷，6)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m•n＜0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°，则m•n＝－|m|•|n|<0，故充分性成立．由m•n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A. 4．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　) A．－2 B．4 C．3 D．－2或3 答案：C 解析：f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.又在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝3. 5．(2018•河南南阳一中月考(四))已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意实数x都有ff(x)＋22x＋1＝13，则f(log23)＝(　　) A．1 B.45 C.12 D．0 答案：C 解析：函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意实数x，都有ff(x)＋22x＋1＝13，所以f(x)＋22x＋1＝a恒成立，且f(a)＝13.即f(x)＝－22x＋1＋a，f(a)＝－22a＋1＋a＝13，解得a＝1，所以f(x)＝－22x＋1＋1，f(log23)＝12. 6．(2017•北京卷，8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 答案：D 解析：因为lgMN＝lgM－lnN＝lg3361－lg1080≈361×0.48－80＝93.28，所以MN≈1093.28.故选D. 7．(2018•四川成都一诊)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝(　　) A．－18 B.18 C．－1258 D.1258 答案：B 解析：由条件可知函数f(x)的周期T＝3，所以f112＝f－12＋6＝f－12＝－f12＝－－123＝18. 8．(2018•临川一模)函数f(x)＝x＋lnxx的图象在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A.12　　　B.14　　　C.32　　　D.54 答案：B 解析：因为f(x)＝x＋lnxx，f′(x)＝1＋1－lnxx2，所以f(1)＝1，f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)．令x＝0，可得y＝－1；令y＝0，可得x＝12.故切线与两坐标轴转成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选B. 9．设函数y＝f(x)，x∈R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称 答案：D 解析：y＝f(x)，x∈R，f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到的．因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称，故选D. 10．(2018•湖南长沙模拟)函数f(x)＝sinxln(x＋2)的图象可能是(　　) 答案：A 解析：由题意知x＋2>0，ln(x＋2)≠0，∴x>－2且x≠－1，故排除B、D，由f(1)＝sin1ln3>0可排除C，故选A. 11．(2018•四川第一次名校联考)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0 D．0f(2 008)＝(　　) A．669 B．670 C．2 008 D．1 答案：D 解析：由f(x)＝－fx＋32得f(x)＝f(x＋3)．又f(－1)＝1，f(0)＝－2，∴f(－1)＝f(－1＋3)＝f(2)，f(0)＝f(3)．又f(x)的图象关于点－34，0对称，∴f(－1)＝－f－12＝f－12＋32＝f(1)，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 008)＝669×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝f(1)＝f(－1)＝1.故选D. 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． 13．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是__________． 答案：a≤－2或a＝1 解析：由x2－a≥0，得a≤x2，因为x∈[1,2]，所以a≤1.要使q成立，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题p且q是真命题，所以p，q同时为真，即a≤1a≥1或a≤－2，故a≤－2或a＝1. 14．(2018•福建福州外国语学校期中)函数f(x)＝1－(x＋1)2，－2≤x≤0，x2－x，0． 答案：16＋π2 解析：∵f(x)＝1－(x＋1)2，－2≤x≤0，x2－x，0)＝f(x)－kx－k有四个不同的零点，则实数k的取值范围是__________． 答案：16，15 解析：因为当x≥1时，f(x)＝f(x－1)，所以当x≥0时，f(x)＝f(x＋1)，即函数f(x)是以1为周期的周期函数． 函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个不同的零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝k(x＋1)有四个不同的交点，画出函数y＝f(x)的图象． 易知直线y＝k(x＋1)过定点A(－1,0)，由图可知，直线AB的斜率kAB＝14－(－1)＝15，直线AC的斜率kAC＝15－(－1)＝16， 要使两图象有四个交点，则kAC≤k值范围为16，15. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 对于函数f(x)，若f(x0)＝x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]＝x0，则称x0为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f[f(x)]＝x}． (1)设函数f(x)＝3x＋4，求集合A和B； (2)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，且A＝∅，求证：B＝∅. 解析：(1)由f(x)＝x，得3x＋4＝x，解得x＝－2； 由f[f(x)]＝x，得3(3x＋4)＋4＝x，解得x＝－2. 所以集合A＝{－2}，B＝{－2}． (2)由A＝∅，得方程ax2＋bx＋c＝x无实数解， 则Δ＝(b－1)2－4ac<0. ①当a>0时，二次函数y＝f(x)－x(即y＝ax2＋(b－1)x＋c)的图象在x轴的上方，所以任意x∈R，f(x)－x>0恒成立，即对于任意x∈R，f(x)>x恒成立， 对于实数f(x)，则有f[f(x)]>f(x)成立， 所以对于任意x∈R，f[f(x)]>f(x)>x恒成立，则B＝∅； ②当a<0时，二次函数y＝f(x)－x(即y＝ax2＋(b－1)x＋c)的图象在x轴的下方，所以任意x∈R，f(x)－x<0恒成立，即对于任意x∈R，fx)0，∴f12•f(1)<0， 所以函数f(x)在区间(12，1)内存在零点． 又由二次函数的图象，可知f(x)＝x2＋x－1在(12，1)上单调递增， 从而函数f(x)在区间(12，1)内存在唯一零点． (2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解， 所以b<2－x2x＝2x－x在区间[1,2]上有解． 令g(x)＝2x－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减， 所以b递减， ∴g(x)min＝g(2)＝2b＋2<0，即b<－1，所以b≤－4； 当1<－b2<2即－4′(x)，其中f′(x)是f(x)的导函数． (1)求曲线y＝f(x)在点(e,1)处的切线方程； (2)若f(x)≥ag(x)在[3，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x， 由导数的几何意义所求切线的斜率k＝f′(e)＝1e， ∴所求的切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－ey＝0. (2)∵f(x)＝lnx，∴g(x)＝(x－1)f′(x)＝x－1x， ∴f(x)≥ag(x)在[3，＋∞)上恒成立， 即lnx≥a(x－1)x，即 a≤xlnxx－1在[3，＋∞)上恒成立，即a≤xlnxx－1min，x∈[3，＋∞)． 设h(x)＝xlnxx－1，则h′(x)＝x－lnx－1(x－1)2. 令φ(x)＝x－lnx－1，则φ′(x)＝1－1x＝x－1x， 当x>1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∴φ(x)>φ(1)＝0，∴x－lnx－1>0(x>1)， ∴h′(x)>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，即在[3，＋∞)上也单调递增， ∴h(x)min＝h(3)＝32ln3，∴a≤32ln3. 20．(本小题满分12分) (2018•海南联考)已知函数f(x)＝1x＋klnx，k≠0. (1)当k＝2时，求函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值； (2)若关于x的方程f(x)＝k有解，求实数k的取值范围． 解析：(1)函数f(x)＝1x＋klnx的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1x2＋kx(x>0)． 当k＝2时，f′(x)＝－1x2＋2x＝－1x－12＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立． 所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1. (2)因为关于x的方程f(x)＝k有解， 令g(x)＝f(x)－k＝1x＋klnx－k， 则问题等价于函数g(x)存在零点． g′(x)＝－1x2＋kx＝kx－1x2. 当k<0时，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为g(1)＝1－k>0， g(e1－1k)＝1e1－1k＋k1－1k－k＝1e1－1k－1<1e－1<0， 所以函数g(x)存在零点． 当k>0时，令g′(x)＝0，得x＝1k. g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表： x 0，1k 1k 1k，＋∞
g′(x) － 0 ＋ g(x) �� 极小值 ��
所以g1k＝k－k＋kln1k＝－klnk为函数g(x)的最小值，当g1k>0时，即00， 所以函数g(x)存在零点． 综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)＝k有解． 21．(本小题满分12分) (2018•河北衡水武邑中学调研)已知函数f(x)＝lnx－ax(ax＋1)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点，求实数a的取值范围． 解析：(1)依题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x－2a2x－a＝2a2x2＋ax－1－x＝(2ax－1)(ax＋1)－x. 当a＝0时，f(x)＝lnx，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，由f′(x)>0，得012a，函数f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减． 当a<0时，由f′(x)>0得0－1a，所以函数f(x)在0－1a上单调递增，在－1a，＋∞上单调递减． (2)当a＝0时，函数f(x)在(0,1]内有1个零点x0＝1. 当a>0时，由(1)知函数f(x)在0，12a上单调递增，在12a，＋∞上单调递减． ①若12a≥1，即012时，f(x)在0，12a上单调递增，在12a，1上单调递减，要使函数f(x)在(0,1]内至少有1个零点，只需满足f12a≥0，无解． 当a<0时，由(1)知函数f(x)在0，－1a上单调递增，在－1a，＋∞上单调递减． ③若－1a≥1，即－1≤a<0时，f(x)在(0,1]上单调递增，由于当x→0时，f(x)→－∞，且f(1)＝－a2－a≥0，知函数f(x)在(0,1]内有1个零点． ④若0<－1a<1，即a<－1时，函数f(x)在0，－1a上单调递增，在－1a，1上单调递减．由于当x→0时，f(x)→－∞，且当a<－1时，f－1a＝ln－1a<0，知函数f(x)在(0,1]内无零点． 综上可知，a的取值范围是[－1,0]． 22．(本小题满分12分) (2018•福建连城二中期中)已知函数f(x)＝a－12x2＋lnx(a∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值； (2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝12x2＋lnx， f′(x)＝x＋1x＝x2＋1x. 当x∈[1，e]时，f′(x)>0，所以f(x)在区间[1，e]上为增函数， 所以f(x)max＝f(e)＝1＋e22，f(x)min＝f(1)＝12. (2)令g(x)＝f(x)－2ax＝a－12x2－2ax＋lnx，则 g(x)的定义域为(0，＋∞)． 在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方等价于g(x)<0在区间(1，＋∞)上恒成立． g′(x)＝(2a－1)x－2a＋1x＝(2a－1)x2－2ax＋1x＝(x－1)[(2a－1)x－1]x. ①若a>12，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝12a－1， 当x2>x1＝1，即120， 此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不合题意； 当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，不合题意． ②若a≤12，则有2a－1≤0， 此时在区间(1，＋∞)恒有g′(x)<0， 从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数， 要使g(x)<0在此区间上恒成立， 只需满足g(1)＝－a－12≤0，即a≥－12， 由此求得实数a的取值范围是－12，12. 综合①②可知，当a∈－12，12时，在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方．

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