贵州省贞丰一中2012度上学期期末考试卷高二数学理科.doc

贵州省贞丰一中2012-2013学年度上学期期末考试卷高二数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设∈(0,)，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则∈( )
A．(0, B． (, ) C．(0,) D．［,)
【答案】B
2．是方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
3．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若。则k =( )
A．1 B． C． D．2
【答案】B
4．已知抛物线的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于两点,则的最小值是( )
A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
【答案】B
5．如图，已知椭圆及两条直线，其中，且分别交轴与两点。 从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点。 若，且，则椭圆的离心率等于( )

A． B． C． D．
【答案】A
6．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为( )
A．18 B．24 C． 36 D． 48
【答案】C
7．若椭圆的焦距为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
8．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
9．点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的取值范围为( )
A．[3，5] B． [2，5] C． [3，6] D． [2，6]
【答案】D
10．如图，椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为( )

A．8 B．2 C． 4 D．
【答案】C
11．椭圆和具有( )
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
【答案】A
12．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线虚轴的一个端点为,焦点为,且°,则双曲线的离心率为 。
【答案】
14．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于____________
【答案】－1
15．椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则____________．
【答案】
16．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 .
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
(1）求椭圆C的标准方程；
(2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时求k的取值范围．
【答案】（1）∵焦距为4，∴ c=2
又∵的离心率为
∴，∴a=，b=2
∴标准方程为
(2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得
∴x1+x2=，x1x2=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴＜0
∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0
∴＜0
∴k＜
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）
18．长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．
【答案】（I）设
由得即
又由得即为点的轨迹方程．
(II）当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即
联列方程得
设，
则
则的方程为
与曲线C的方程联列得
则
所以
直线的方程为
令，则

．

．
从而．即直线与直线交于定点．
19．已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．
【答案】

由得，
又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．
⑶设点，则，直线的方程为
令，得，将代入整理，得． ②
由得①代入②整理，得，
所以直线与轴相交于定点．
20．已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
(1）求椭圆的标准方程；
(2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；
(3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．

【答案】 1) 设椭圆方程为，
由题意点在椭圆上，
所以，解得
(2）由题意，
所以，，

(3）当直线斜率不存在时，易求，
所以
由得，直线的方程为．
当直线斜率存在时，
所以，
由得
即
因为，所以
此时，直线的方程为
21．已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切 ，与椭圆相交于A，B两点记
(Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ）求的取值范围；
(Ⅲ）求的面积S的取值范围.
【答案】（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.
故a=
所求椭圆方程为
(Ⅱ）因为直线l:y=kx+m与圆相切
所以原点O到直线l的距离＝1,即：m
又由　　　　　，（）
设A（），B（），则

＝，由，故，即
(III）
＝，由，得：
，所以：
22．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，
过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为.
(1）求椭圆的方程；
(2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点
，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标.
【答案】（1）依题意，椭圆过点，故，解得。

椭圆的方程为。
(2）设，直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
设，则，
，故点的坐标为。
同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，
设，则，。
可得点的坐标为。
①若时，直线的方程为，与轴交于点；
②若，直线的方程为，
令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。