南京市盐城市高三年级第一次模拟考试数学.doc

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.若集合，则= 2.设复数（其中为虚数单位），若，则实数的值为 开始输入是否结束输出第5题3.某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中样本中型号产品有件，那么此样本的容量= 4.从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 5.如图所示流程图中，若输入的值为，则输出的值为 6.若双曲线的离心率为，则实数的值为 7.已知为定义在上的奇函数，且当时，则的值为 第9题8.已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，则的值为 9.如图，平面，分别为的中点，则三棱锥的体积为 10.设，点，过点引圆的两条切线，若的最大值为，则的值为 11.设函数，其中.若函数在上恰有个零点，则的取值范围是 12.若正实数满足，则的最大值为 13.设函数，为坐标原点，对函数图象上的任意一点，都满足成立，则的值为 14.若数列满足，其中，且对任意都有成立,则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)在中，设分别为角的对边，记的面积为，若.（1）求角的大小；（2）若，求的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点(其中点不同于点)，且，为棱上的点，于点.求证：(1)平面平面；(2) 平面.第16题17. (本小题满分14分) 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中为每天的时刻，若凌晨点时，测得空气质量指数为.（1）求实数的值；（2）求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：）18. (本小题满分16分)已知椭圆的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为，直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，记直线，的斜率分别为，.若，求的值；若，求实数的值.19. (本小题满分16分) 若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.设函数.（1）若函数在上无极值点，求的取值范围；（2）求证：对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行； （3）当时，函数的图象存在的两条平行切线之间的距离为，求满足此条件的平行切线共有几组.20. (本小题满分16分) 已知数列, 其中.（1）若满足. 当求的值； 若存在互不相等的正整数，满足，且成等差数列，求的值；（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题（在A、B、C三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修42：矩阵与变换）直线经矩阵变换后还是直线，求矩阵的特征值.B.（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中,圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被圆截得的弦长.C(选修45：不等式选讲）已知正实数满足，求的最小值.必做题（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）22（本小题满分10分）如图，四棱锥中，底面是矩形，第22题平面,点是棱的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值.23（本小题满分10分）已知数列满足，且对任意，都有成立.（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由，得,所以,因为，所以6分（2）中，,所以，所以.10分由正弦定理，得，解得 .14分（评分细则：第一问解答中不交代“”而直接得到“”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16证明：（1）在直三棱柱中，平面 . . . . . .2分因为平面，所以,又因为，在平面中，与相交，所以平面，又因为平面,所以平面平面. .6分(2) 在直三棱柱中，平面 . . . . . . .8分因为平面,所以,又因为，在平面中，所以平面, . . . . . . . . .10分 在（1）中已证得平面，所以，又因为平面，平面,所以平面. . . . . . . . . .14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱与底面垂直”，从而得到“和”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“平面”，扣2分.）17（1）由题，代入，解得5分（2）由已知函数求导得： 令得，9分 极大值 所以函数在时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. 12分答：（1）实数的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时.14分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18解：（1）椭圆的离心率为，两准线间的距离为得，所以，所以，所以椭圆的方程为.3分（2）设，由于，则，由得，5分所以8分（3）由（1）得.方法一：设，设直线的方程为：，联立，消去，得，所以，10分所以， 代入得，所以12分由得，整体代换得13分设，由三点共线得，即，化简得，所以16分方法二：设，联立，消去，得，所以，10分而， 13分化简得，即，显然，所以，解得或（舍去）此时 16分19. 解：（1）由函数，得，由，得，或，因函数在上无极值点，所以或，解得或. 4分（2）方法一:令，即，当时，此时存在不同的两个解.8分（方法二：由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行.8分）设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则,即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行10分（3）当时，由（2）知时，两切线平行.设,不妨设，过点的切线方程为11分所以，两条平行线间的距离，化简得，13分令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 .16分20解：（1）由，累加得.3分（2）因，所以，当时，满足题意； 当时，累加得，所以5分若存在满足条件，化简得，即，此时（舍去）7分综上所述，符合条件的值为1. 8分（2）由可知,两式作差可得：，又由，可知故，所以对一切的恒成立11分对，两式进行作差可得,又由可知，故13分又由,所以 ，15分所以当时,当时,故的最小值为.16附加题答案21（）解：设直线上一点，经矩阵变换后得到点，所以，即，因变换后的直线还是直线，将点代入直线的方程，于是，即，所以，解得，6分所以矩阵的特征多项式，解得或，所以矩阵的的特征值为与.10分21（）解：由，得，所以，所以圆的普通方程为，圆心，半径，3分又，消去参数，得直线方程为，6分所以圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为. 10分21.（）因，所以，同理，5分三式相加，得，所以，当且仅当取等，即，所以的最小值为3. 10分22.解：（1）因底面，且底面为矩形，所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，又因，所以，2分因棱的中点，所以.所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为6分（2）由（1）得，设平面的法向量为，所以，令，则，所以面的一个法向量为，设平面的法向量为，所以，令，则，所以面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 10分23.（1）解：在中，令，则，由，解得. 3分（2）假设，是公差为2的等差数列，则 当时，, 此时假设成立4分当时，若，是公差为2等差数列5分由，对该式倒序相加，得，所以，根据、可知数列是等差数列.10分