资源描述
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
参考公式
锥体的体积公式:,其中为底面积,为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.若集合,,则= ▲ .
2.设复数(其中为虚数单位),若,则实数的值为 ▲ .
开始
输入
是
否
结束
输出
第5题
3.某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为,现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,其中样本中型号产品有件,
那么此样本的容量= ▲ .
4.从中选个不同的数字组成一个两位数,这个两位数是
偶数的概率为 ▲ .
5.如图所示流程图中,若输入的值为,则输出的值为 ▲ .
6.若双曲线的离心率为,则实数的值为 ▲ .
7.已知为定义在上的奇函数,且当时,
,则的值为 ▲ .
第9题
8.已知等比数列为单调递增数列,设其前项和为,若,,则的值为
▲ .
9.如图,平面,,,,,
分别为的中点,则三棱锥的体积为 ▲ .
10.设,点,过点引圆
的两条切线,若的最大值为,则的值为 ▲ .
11.设函数,其中.若函数在上恰有个零点,则的取值范围是 ▲ .
12.若正实数满足,,则的最大值为 ▲ .
13.设函数,为坐标原点,,,对函数图象上的任意一点,都满足成立,则的值为 ▲ .
14.若数列满足,,其中,且对任意都有成立,则的最小值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
在中,设分别为角的对边,记的面积为,若.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.
16. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(其中点不同于点),且,为棱上的点,于点.
求证:(1)平面平面;
(2) 平面.
第16题
17. (本小题满分14分)
盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”,对环境进行了大力整治,目前盐城市的空气质量位列全国前十,吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园,数据显示,近期公园中每天空气质量指数近似满足函数,其中为每天的时刻,若凌晨点时,测得空气质量指数为.
(1)求实数的值;
(2)求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:)
18. (本小题满分16分)
已知椭圆的两焦点之间的距离为2,两条准线间的距离为,直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为,记直线,的斜率分别为,.
①若,求的值;
②若,求实数的值.
19. (本小题满分16分)
若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.
设函数.
(1)若函数在上无极值点,求的取值范围;
(2)求证:对任意实数,函数的图象总存在两条切线相互平行;
(3)当时,函数的图象存在的两条平行切线之间的距离为,求满足此条
件的平行切线共有几组.
20. (本小题满分16分)
已知数列, 其中.
(1)若满足.
① 当求的值;
② 若存在互不相等的正整数,满足,且成等差数列,求
的值;
(2)设数列的前项和为,数列的前项和为,,
若恒成立,求的最小值.
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题](在A、B、C三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内)
A.(选修4—2:矩阵与变换)
直线经矩阵变换后还是直线,求矩阵的特征值.
B.(选修4—4:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,圆的极坐标方程为,以极点为原点,极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),求直线被圆截得的弦长.
C.(选修4—5:不等式选讲)
已知正实数满足,求的最小值.
[必做题](第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内)
22.(本小题满分10分)
如图,四棱锥中,底面是矩形,第22题
平面,,
,点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值.
23.(本小题满分10分)
已知数列满足,,且对任意,都有成立.
(1)求的值;
(2)证明:数列是等差数列
.
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解:(1)由,得,所以,因为,所以……6分
(2)中,,所以,所以..10分
由正弦定理,得,解得 ....................................................................14分
(评分细则:第一问解答中不交代“”而直接得到“”的,扣1分;第二问解答中不交代“由正弦定理得的”,扣1分.)
16.证明:(1)在直三棱柱中,平面 . ... .. .................. ....... .......................2分
因为平面,所以,又因为,在平面中,与相交,所以
平面,又因为平面,所以平面平面.................... .................6分
(2) 在直三棱柱中,平面 . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分
因为平面,所以,又因为,在平面中,所以
平面, . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分
在(1)中已证得平面,所以,又因为平面,平面,所以平面. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分
(评分细则:第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱与底面垂直”,从而得到“和”,如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的,各扣2分;第二问中证明线面平行时若不交代“平面”,扣2分.)
17.(1)由题,代入,解得……5分
(2)由已知函数求导得:
令得,………………………………………………………………………………………9分
极大值
所以函数在时取极大值也是最大值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时. ………………12分
答:(1)实数的值为12;(2)每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分
(评分细则:第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分;最后未给出“答”再扣2分.)
18.解:(1)椭圆的离心率为,两准线间的距离为得,所以,,所以,所以椭圆的方程为.………………………………………………………………3分
(2)设,由于,则,由得,………………5分
所以…………………………………………………………8分
(3)由(1)得.
方法一:设,设直线的方程为:,联立,消去,得,所以,………………………………………10分
所以, 代入得,所以………………12分
由得,整体代换得………………………………………13分
设,由三点共线得,即,化简得,所以…16分
方法二:设,,联立,消去,得,所以,………………10分
而, …………13分
化简得,即,显然,所以,解得或(舍去)此时 ……………………………………………16分
19. 解:(1)由函数,得,由,得,或,
因函数在上无极值点,所以或,解得或. ……………………………4分
(2)方法一:令,即,,当时,,此时存在不同的两个解.……………………………………………………………………8分
(方法二:由(1)知,令,则,所以,即对任意实数,总有两个不同的实数根,所以不论为何值,函数在两点,处的切线平行.…………………………………………………………………8分)
设这两条切线方程为分别为和,若两切线重合,则,即,即,而=,化简得,此时,与矛盾,所以,这两条切线不重合,综上,对任意实数,函数的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分
(3)当时,,由(2)知时,两切线平行.设,,不妨设,
过点的切线方程为…………………………………………………11分
所以,两条平行线间的距离,化简得
,……………………………………………………………………………13分
令,则,即,即,显然为一解,有两个异于的正根,所以这样的有3解,而,所以
有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分
20.解:(1)由,,,累加得.……………………………………3分
(2)①因,所以,,,当时,,满足题意;
当时,累加得,所以………………………………………………5分
若存在满足条件,化简得,即,
此时(舍去)………………………………………………………………………………………………7分
综上所述,符合条件的值为1. ………………………………………………………………………………8分
(2)②由可知,两式作差可得:,又由,可知故,所以对一切的恒成立……………………11分
对,两式进行作差可得,
又由可知,故……………………………………13分
又由
,所以 ,……………………………………15分
所以当时,当时,故的最小值为.………………16
附加题答案
21()解:设直线上一点,经矩阵变换后得到点,
所以,即,因变换后的直线还是直线,将点代入直线的方程,
于是,即,所以,解得,………………6分
所以矩阵的特征多项式,
解得或,所以矩阵的的特征值为与.…………………………………………………10分
21()解:由,得,所以,所以圆的普通方程为,圆心,半径,………………………………………………………………………………………3分
又,消去参数,得直线方程为,…………………………………………6分
所以圆心到直线的距离,所以直线被圆截得的弦长为. ……………………………………………………………………………………………10分
21.()因,所以,
同理,,…………………………………………………………………5分
三式相加,得,
所以,当且仅当取等,即,
所以的最小值为3. ……………………………………………………………………10分
22.解:(1)因底面,且底面为矩形,所以两两垂直,
以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
又因,,所以,,,,,…2分
因棱的中点,所以.所以,,
所以,所以异面直线与所成角的余弦值为………6分
(2)由(1)得,,,
设平面的法向量为,所以,
令,则,所以面的一个法向量为,
设平面的法向量为,所以,
令,则,所以面的一个法向量为,
所以,由图可知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为. …………………………………………………………………10分
23.(1)解:在中,
令,则,由,,解得. ……………………………………3分
(2)假设,,,,是公差为2的等差数列,则
①当时,, 此时假设成立……………………………………………………………4分
②当时,若,,,,是公差为2等差数列……………………………………………5分
由,,
对该式倒序相加,得,所以,
根据①、②可知数列是等差数列.………………………………………………………………………10分
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