南京市盐城市高三年级第一次模拟考试数学.doc

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
参考公式
锥体的体积公式：，其中为底面积,为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.若集合，，则= ▲ ．
2.设复数（其中为虚数单位），若，则实数的值为 ▲ ．
开始
输入
是
否
结束

输出
第5题

3.某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中样本中型号产品有件，
那么此样本的容量= ▲ ．
4.从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是
偶数的概率为 ▲ ．
5.如图所示流程图中，若输入的值为，则输出的值为 ▲ ．
6.若双曲线的离心率为，则实数的值为 ▲ ．
7.已知为定义在上的奇函数，且当时，
，则的值为 ▲ ．

第9题

8.已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为
▲ ．
9.如图，平面，，，，，
分别为的中点，则三棱锥的体积为 ▲ ．
10.设，点，过点引圆
的两条切线，若的最大值为，则的值为 ▲ ．
11.设函数，其中.若函数在上恰有个零点，则的取值范围是 ▲ ．
12.若正实数满足，，则的最大值为 ▲ ．
13.设函数，为坐标原点，，，对函数图象上的任意一点，都满足成立，则的值为 ▲ ．
14.若数列满足，，其中，且对任意都有成立,则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
在中，设分别为角的对边，记的面积为，若.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.

16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点(其中点不同于点)，且，为棱上的点，于点.
求证：(1)平面平面；
(2) 平面.

第16题

17. (本小题满分14分)
盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中为每天的时刻，若凌晨点时，测得空气质量指数为.
（1）求实数的值；
（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：）

18. (本小题满分16分)
已知椭圆的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为，直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，记直线，的斜率分别为，.
①若，求的值；
②若，求实数的值.

19. (本小题满分16分)
若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.
设函数.
（1）若函数在上无极值点，求的取值范围；
（2）求证：对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行；
（3）当时，函数的图象存在的两条平行切线之间的距离为，求满足此条
件的平行切线共有几组.

20. (本小题满分16分)
已知数列, 其中.
（1）若满足.
① 当求的值；
② 若存在互不相等的正整数，满足，且成等差数列，求
的值；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，，
若恒成立，求的最小值.

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A、B、C三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
A.（选修4—2：矩阵与变换）
直线经矩阵变换后还是直线，求矩阵的特征值.

B.（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被圆截得的弦长.

C．(选修4—5：不等式选讲）
已知正实数满足，求的最小值.

[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥中，底面是矩形，第22题

平面,,
,点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的余弦值.

23．（本小题满分10分）
已知数列满足，，且对任意，都有成立.
（1）求的值；
（2）证明：数列是等差数列
.

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）由，得,所以,因为，所以……6分
（2）中，,所以，所以..10分
由正弦定理，得，解得 ....................................................................14分
（评分细则：第一问解答中不交代“”而直接得到“”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）
16．证明：（1）在直三棱柱中，平面 . ... .. .................. ....... .......................2分
因为平面，所以,又因为，在平面中，与相交，所以
平面，又因为平面,所以平面平面.................... .................6分
(2) 在直三棱柱中，平面 . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分
因为平面,所以,又因为，在平面中，所以
平面, . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分
在（1）中已证得平面，所以，又因为平面，平面,所以平面. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分
（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱与底面垂直”，从而得到“和”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“平面”，扣2分.）
17．（1）由题，代入，解得……5分
（2）由已知函数求导得：
令得，………………………………………………………………………………………9分

极大值

所以函数在时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. ………………12分
答：（1）实数的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分
（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）
18．解：（1）椭圆的离心率为，两准线间的距离为得，所以，，所以，所以椭圆的方程为.………………………………………………………………3分
（2）设，由于，则，由得，………………5分
所以…………………………………………………………8分
（3）由（1）得.
方法一：设，设直线的方程为：，联立，消去，得，所以，………………………………………10分
所以， 代入得，所以………………12分
由得，整体代换得………………………………………13分
设，由三点共线得，即，化简得，所以…16分
方法二：设，，联立，消去，得，所以，………………10分
而， …………13分
化简得，即，显然，所以，解得或（舍去）此时 ……………………………………………16分
19. 解：（1）由函数，得，由，得，或，
因函数在上无极值点，所以或，解得或. ……………………………4分
（2）方法一:令，即，，当时，，此时存在不同的两个解.……………………………………………………………………8分
（方法二：由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行.…………………………………………………………………8分）
设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则,即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分
（3）当时，，由（2）知时，两切线平行.设,,不妨设，
过点的切线方程为…………………………………………………11分
所以，两条平行线间的距离，化简得
，……………………………………………………………………………13分
令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以
有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分
20．解：（1）由，，，累加得.……………………………………3分
（2）①因，所以，，，当时，，满足题意；
当时，累加得，所以………………………………………………5分
若存在满足条件，化简得，即，
此时（舍去）………………………………………………………………………………………………7分
综上所述，符合条件的值为1. ………………………………………………………………………………8分
（2）②由可知,两式作差可得：，又由，可知故，所以对一切的恒成立……………………11分
对，两式进行作差可得,
又由可知，故……………………………………13分
又由
,所以 ，……………………………………15分
所以当时,当时,故的最小值为.………………16

附加题答案
21（）解：设直线上一点，经矩阵变换后得到点，
所以，即，因变换后的直线还是直线，将点代入直线的方程，
于是，即，所以，解得，………………6分
所以矩阵的特征多项式，
解得或，所以矩阵的的特征值为与.…………………………………………………10分
21（）解：由，得，所以，所以圆的普通方程为，圆心，半径，………………………………………………………………………………………3分
又，消去参数，得直线方程为，…………………………………………6分
所以圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为. ……………………………………………………………………………………………10分
21.（）因，所以，
同理，，…………………………………………………………………5分
三式相加，得，
所以，当且仅当取等，即，
所以的最小值为3. ……………………………………………………………………10分
22.解：（1）因底面，且底面为矩形，所以两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
又因，，所以，，，，，…2分
因棱的中点，所以.所以，，
所以，所以异面直线与所成角的余弦值为………6分
（2）由（1）得，，，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以面的一个法向量为，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为. …………………………………………………………………10分
23.（1）解：在中，
令，则，由，，解得. ……………………………………3分
（2）假设，，，，是公差为2的等差数列，则
①当时，, 此时假设成立……………………………………………………………4分
②当时，若，，，，是公差为2等差数列……………………………………………5分
由，，
对该式倒序相加，得，所以，

根据①、②可知数列是等差数列.………………………………………………………………………10分