【小奥】五年级寒假同步课程圆与扇形初步(修改版--公式-割补法-容斥原理--等应用).docx

圆与扇形初步

1. 圆与扇形的定义：
平面上到定点的距离为定长的所有点组成的图形叫圆．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．扇形是圆的一部分．
2. 圆与扇形的基本计算：
（1）圆形的周长：圆周长C=
（2）圆的面积：
圆的面积公式可以由周长公式推导出来，结合此图，想一想这是为什么：
（3）扇形的周长或弧长：扇形弧长=
（4）扇形的面积：扇形面积=
3. 割补法求不规则图形的面积．

假设地球是一个规整的大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米， π取3.14）
试一试：把地球捆起来

【解答】地球赤道长：（千米），所以绳长40192千米；一般我们可能会想：对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也是极小的，肉眼都看不出来吧；这里我们先不急着下结论，让我们实际算一下：绳长加上1米变为40192001米，则有：（米），即大约16厘米，还真不小呢！
本讲中题目如不做特殊说明，则π近似取
例1. 已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为 厘米，面积为 平方厘米．

练习1：已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为 厘米．

例2. 已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：
（1）这个扇形所在圆的周长是 厘米，扇形的圆心角占圆周角的 ，它的弧长占圆周长的 ，这个扇形的弧长是 厘米，周长是 厘米．
（2）这个扇形面积是 平方厘米，占它所在圆的面积的 ．

练习2：（1）已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为6.28厘米，这个扇形的面积是多少？
（2）已知一个半圆形的面积是25.12平方厘米，求这个半圆的周长．

例3. 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆．已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）

例4. 求下三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）

练习3：分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米．(取3.14)

例题5：夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）

练习5：有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？

练习6：如图，正六边形的边长为2，以它各顶点为圆心，边长的一半为半径画弧，得到图中实线围城的图形，该图形的周长为 。（取3.14）

例题6：求图中阴影部分面积．
求下面各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）
3
1
1
1
2
2

（4.5平方厘米；1平方厘米；2平方厘米．）

2
4
8

（2.28平方厘米；4.56平方厘米；13.965平方厘米．）

10
10
2
20

练习7-1：图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

练习7-2：如图，在的方格表中，分别以A、E为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90°的两段圆弧．图中阴影部分的面积是_________．（1.075．）

例题7：图中三个圆的半径都是1，求阴影部分面积．（π近似取3）

练习8：如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取)

练习9：如图所示，连接六个半径为3厘米的小圆的圆心组成一个六边形，求六边形内阴影部分面积。

例题8：如图，用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．请问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

例题9：如图，有7个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？

练习10：图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形．已知厘米．图中阴影部分的面积为_________平方厘米．

: 练习11：图中有一个矩形和两个半径分别为4和2的直角扇形．两个阴影部分的面积之差是_______．（1.485．）

思考题
如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A直径为10厘米，盘B直径为40厘米，盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？

第一部分 填空题
1、 （1）面积为78.5平方厘米的圆，半径是_______厘米，周长是_______厘米．
（2）一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是___度，它的弧长又是_______分米．

2、 如图，阴影部分面积为_______．

3、 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是_______厘米．

第二部分 解答题
1、 已知小圆的面积均为平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

2、 如图，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米？

3、 求图中阴影部分的面积．

4、 有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率,那么花瓣图形的面积是平方厘米.

5、右图是由直径分别为4cm，6cm和10cm的三个半圆所组成的图形，求图中阴影部分的周长和面积．

6、下列图形中的正方形的边长为4，求各个阴影部分面积的大小。

7、如下图，图中是一个正六边形，面积为2020平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形，求阴影面积。

8、每个小圆的半径都是1，求阴影部分的周长和面积

9、正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以ABCD为圆心，以ADBECFDG为半径画出扇形，得到下图，的阴影部分，求阴影部分的面积和周长。

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