【市级联考】河北省唐山市2018-2019学年高一年级第一学期期末考试数学试题(试卷类型：A).doc

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
【市级联考】河北省唐山市2018-2019学年高一年级
第一学期期末考试数学试题（试卷类型：A)
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、单选题
1．已知集合M=(x,y)|x+y=3，N=(x,y)|x-y=3，则 M ∩N＝( )
A．{0，3} B．{3，0} C．{(0，3)} D．{(3，0)}
2．已知cosα=35，α是第四象限角，则tanα的值是( )
A．34 B．-34 C．43 D．-43
3．若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,2)，则f(3)＝( )
A．13 B．3 C．3 D．9
4．下列函数中，既存在零点又是偶函数的是( )
A．y＝lnx B．y＝cosx＋2 C．y＝sin(2x＋π2) D．y＝x2＋1
5．已知向量a=(1,1)，b=(2,-t)，若a∥b，则实数t＝( )
A．12 B．-12 C．2 D．－2
6．已知a＝log0.22.1，b＝0.22.1，c＝2.10.2，则( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
7．函数f(x)=3x+2x的零点所在的一个区间是( )
A．(1，2) B．(0，1) C．(－1，0) D．(－2，－1)
8．已知sin(α-π6)=13，则cos(α+π3)＝( )
A．13 B．-13 C．223 D．-223
9．在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax a>0,且a≠1的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
10．已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，0＜φ≤π2)的图象如下，则点P(ω,φ)的坐标是( )

A．(13，π6) B．(13，π3)
C．(π3，π6) D．(π3，π3)
11．已知函数 f (x)＝32cos2x+12sin2x的图象向左平移π6个单位后，得到函数 y＝g(x)的图象，下列关于函数y＝g(x)的说法正确的是( )
A．图象关于点(-π3，0)对称 B．图象关于直线x=-π6对称
C．在区间[-π6,0]单调递增 D．最小正周期为2π
12．定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[3,4]时， f (x)＝x－3， 则( )
A．f(sin1)f(cos32)
C．f(sinπ3)>f(cosπ3) D．f(sin13)

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题
13．已知向量a，b满足|a|=3，|b|=4，若a ⊥b， 则|a+b|＝_____________．
14．已知tanα=2，则sinαcosα=__________．
15．函数 f (x)＝-x2+2x+1,x≤1loga(x+3),x>1 (a>0且a≠1)值域为R，则实数a的取值范围是____________．
16．函数f (x)＝(12)|x-2|+2cosπx2(－6≤x≤10)的所有零点之和为____________．

评卷人
得分

三、解答题
17．已知角α的终边经过点P(12，－32)．
(1)求sinα的值；
(2)求cosαsin(π-α)⋅tan(α+π)cos(3π-α)的值．
18．已知函数f (x)＝2(sinx＋cosx)cosx－1
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)当x∈[π12,π2]时，求函数f (x)的值域．
19．如图，平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60o，点M在AB上，点N在DC上，且AM＝13AB，DN＝12DC．

(1)用AB和AD表示AN；
(2)求AN⋅DM
20．已知函数 f (x)＝ex-1，g(x)=3e|x|+1．

(1)求函数g (x)的值域；
(2)求满足方程f (x)－g(x)＝0的x的值．
21．已知奇函数f(x)＝lnax+1x－1 ．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数 f (x)在(1,+∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当xä[2，5]，时，ln(1+x)＞m＋ln(x－1) 恒成立，求实数m的取值范围．
22．如图，已知单位圆O，A(1，0)，B(0，1)，点D在圆上，且∠AOD＝π4，点C从点A沿圆弧AB运动到点B，作BE⊥OC于点E，设∠COA＝θ.

(1)当θ=5π12时，求线段DC的长；
(2)ΔOEB的面积与ΔOCD面积之和为S，求S的最大值．

试卷第3页，总4页

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解方程组x+y=3x-y=3即可求出M∩N的元素，从而得出M∩N．
【详解】
解x+y=3x-y=3得，x=3y=0；
∴M∩N＝{（3，0）}．
故选：D．
【点睛】
本题考查描述法表示集合的方法，以及交集的定义及运算．
2．D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．
【详解】
∵cosα=35，α为第四象限角，
∴sinα=-1-cos2α=-45，
则tanα=-43．
故选：D．
【点睛】
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值．
【详解】
设幂函数y＝f（x）＝xα，
其图象经过点(2，2)，
∴2α=2，
解得α=12，
∴f（x）=x12=x，
∴f（3）=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
4．C
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx+2，是偶函数，但y＝cosx+2＞0恒成立，不存在零点，不符合题意；
对于C，y＝sin（2x+π2）＝cos2x，是偶函数且存在零点，符合题意；
对于D，y＝x2+1，是偶函数，但y＝x2+1＞0恒成立，不存在零点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的零点以及函数的奇偶性，关键是掌握常见函数的奇偶性以及图象性质，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
根据a→∥b→即可得出1•（﹣t）﹣1•2＝0，解出t即可．
【详解】
∵a→∥b→；
∴﹣t﹣2＝0；
∴t＝﹣2．
故选：D．
【点睛】
涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：
（1）若a≠0且a//b，则存在实数λ，使b=λa成立；
（2）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a//b，则x1y2-x2y1=0.
6．C
【解析】
【分析】
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．
【详解】
∵a＝log0.22.1＜log0.21＝0，
0＜b＝0.22.1＜0.20＝1
c＝2.10.2＞2.10＝1．
∴a＜b＜c．
故选：C．
【点睛】
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
7．C
【解析】
【分析】
依次代入区间的端点值，求其函数值，由零点判定定理判断．
【详解】
∵f（﹣2）＝3﹣2+2×（﹣2）=19-4＜0，
f（﹣1）＝3﹣1+2×（﹣1）=13-2＜0，
f（0）＝1＞0，f（1）＝3+2＞0，f（2）＝9+4＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数零点的判断，考查零点存在性定理，属于基础题．
8．B
【解析】
【分析】
由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】
∵sin(α-π6)=13，
∴cos(α+π3)=cos（-α-π3）
＝cos[-π2-（α-π6）]＝﹣sin（α-π6）=-13．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
9．D
【解析】
【分析】
结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析，
【详解】
对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；
对于B项，幂函数a>1，对数函数01，所以C项不满足要求；
对于D项，幂函数与对数函数都要求0
∴点P（π3，π6）．
故选：C．
【点睛】
已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.
(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
11．A
【解析】
【分析】
辅助角公式得：f（x）=32cos2x+12sin2x=sin（2x+π3），三角函数的对称性、单调性及周期性逐一判断即可．
【详解】
由f（x）=32cos2x+12sin2x=sin（2x+π3），
将函数f（x）＝sin（2x+π3）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y＝gx）的图象，
则g（x）＝sin[2（x+π6）+π3]＝sin（2x+2π3），
①令2x+2π3=kπ，解得：x=kπ2-π3（k∈z）
当k＝0时，函数图象对称点为：（-π3，0），故选项A正确；
②令2x+2π3=kπ+π2，解得：x=kπ2-π12（k∈z），
解方程-π6=kπ2-π12（k∈z），k无解，故选项B错误
③令2kπ-π2≤2x+2π3≤2kπ+π2，
解得：kπ-7π12≤x≤kπ-π12（k∈z）
即函数增区间为：[kπ-7π12，kπ-π12]（k∈z），
则函数在区间[-π6，0]单调递减，故选项C错误，
④由T=2π2=π，即函数的周期为：π，故选项D错误，
综合①②③④得：选项A正确；
故选：A．
【点睛】
函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0)的性质
(1) ymax=A+B，ymin=A-B.
(2)周期T=2πω.
(3)由 ωx+φ=π2+kπk∈Z求对称轴
(4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπk∈Z求增区间;
由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求减区间.
12．A
【解析】
【分析】
根据条件可知，f（x）的周期为2，可设x∈[0，1]，从而得出4﹣x∈[3，4]，这样即可得出f（x）＝f（4﹣x）＝1﹣x，得出f（x）在[0，1]上单调递减，从而可判断每个选项的正误．
【详解】
∵f（x+2）＝f（x）；
∴f（x）的周期为2，且f（x）是偶函数，x∈[3，4]时，f（x）＝x﹣3；
设x∈[0，1]，则4﹣x∈[3，4]；
∴f（x）＝f（x﹣4）＝f（4﹣x）＝4﹣x﹣3＝1﹣x；
∴f（x）在[0，1]上单调递减；
∵sin1，cos1∈[0，1]，且sin1＞cos1；
∴f（sin1）＜f（cos1）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了函数值大小的比较，涉及到函数的奇偶性，周期性，单调性等知识.
13．5
【解析】
【分析】
根据a→⊥b→即可得到a→⋅b→=0，再由|a→|=3，|b→|=4即可求出(a→+b→)2=25，从而可得出|a→+b→|的值．
【详解】
∵a→⊥b→；
∴a→⋅b→=0，且|a→|=3，|b→|=4；
∴(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2=9+0+16=25；
∴|a→+b→|=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．
14．25
【解析】
分析：先对sinαcosα弦化切，再代入tanα=2求结果.
详解：因为sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1，所以sinαcosα=222+1=25.
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
15．a≥2
【解析】
【分析】
由题意讨论x≤1时，函数y是单调减函数，且y≤2；x＞1时，函数y应为单调增函数，且y＞2；由此求得a的取值范围．
【详解】
由题意知，当x≤1时，函数y＝﹣x2+2x+1是单调减函数，且y≤2；
当x＞1时，函数y＝loga（x+3）应为单调增函数，且y＞2；
∴a＞1loga(1+3)≥2，
解得a≥2；
∴实数a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
【点睛】
本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16．16
【解析】
【分析】
构造函数g（x）＝（12）|x﹣2|，h（x）＝﹣2cosπx2，由于﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象都关于直线x＝2对称，可得函数f（x）在﹣6≤x≤10的图象关于直线x＝2对称．运用﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，即可得到f（x）的所有零点之和．
【详解】
构造函数g（x）＝（12）|x﹣2|，
h（x）＝﹣2cosπx2，
∵﹣6≤x≤10时，
函数g（x），h（x）的图象
都关于直线x＝2对称，
∴函数f（x）＝（12）|x﹣2|+2cosπx2
（﹣6≤x≤10）
的图象关于直线x＝2对称．
∵﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，
∴函数f（x）的所有零点之和等于4×4＝16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．
17．(1)-32 （2）-2
【解析】
【分析】
（1）根据任意角的三角函数的定义即可求出；
（2）根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出．
【详解】
解：(1)因为角α的终边经过点P(，－)，r=(12)2+(32)2=1
由正弦函数的定义得sinα＝－．
（2）原式＝·
＝－＝－，
由余弦函数的定义得cosα＝，
故所求式子的值为－2．
【点睛】
本题考查了任意角的三角函数的定义和同角的三角函数的关系，属于基础题．
18．(1)π； (2)-1,2
【解析】
【分析】
（1）求出f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x=2sin（2x+π4），由此能求出函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[π12，π2]时，2x+π4∈[5π12，5π4]，由此能求出函数f（x）的值域．
【详解】
解：
(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝sin(2x＋)
函数f(x)的最小正周期为T＝π．
(2)当x∈[，]时，2x＋∈[，]，.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，
所以函数f(x)的值域为[－1，]．
【点睛】
本题考查函数的最小正周期的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论论能力、运算求解能力，是中档题．
19．(1)AN=13AB-AD (2)-12
【解析】
【分析】
（1）运用向量的加法可解决此问题；（2）运用数量积的性质和运算可解决此问题．
【详解】
解：
(1)在平行四边形ABCD中，DN＝DC
所以＝＋＝＋＝＋，
(2)因为AM＝AB
所以＝－＝－；
又因为AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，·=12
所以·＝(＋)·(－)
＝||2－||2－·
＝－1－×2×1×
＝－
【点睛】
本题考查平面向量的加法运算，平面向量的数量积的性质和运算．
20．(1) (1,4] ；(2) x＝ln3
【解析】
【分析】
（1）由指数函数的值域求解函数g（x）的值域；
（2）由f（x）﹣g（x）＝0，得ex-3e|x|-2＝0，对x分类求解得答案．
【详解】
解：
(1)g(x)＝＋1＝3()|x|＋1，
因为|x|≥0，ex≥1
所以0＜()|x|≤1，
0＜3()|x|≤3，
即1＜g(x)≤4，
故g(x)的值域是(1,4]．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得ex－－2＝0，
当x≤0时，方程无解；
当x＞0时，ex－－2＝0，
整理得(ex)2－2ex－3＝0，(ex＋1)(ex－3)＝0，
因为ex＞0，所以ex＝3，即x＝ln3．
【点睛】
本题考查函数值域的求法，考查函数的零点与方程的根的关系，是中档题．
21．(1) a＝1; (2) f(x)在(1，＋∞)上为减函数;(3)m
∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)为(1，＋∞)上的减函数．
(3)由已知得m＜ln(1＋x)－ln(x－1)，即m＜ln．
由(2)知f(x)＝ln在[2，5]上为减函数．
则当x＝5时，(ln)min＝ln32，
于是m与△OCD面积，进而可得S=12sinθcosθ+24（sinθ+cosθ），令t＝sinθ+cosθ，运用换元法分析可得答案．
【详解】
解：
(1)θ＝，∠COD＝＋＝，
∠ODC＝，DC＝.
(2)∠COA＝θ，∠OBE＝θ，OE＝sinθ，BE＝cosθ，S△OEB＝sinθcosθ，

方法一：因为∠AOD＝，∠COA＝θ．
所以∠COD＝θ＋，OC＝OD＝1，取CD中点H，
则OH⊥CD，∠DOH＝，DH＝sin，OH＝cos，
所以S△OCD＝cossin＝sin(θ＋)＝(sinθ＋cosθ)．
方法二：作CM⊥OD，CM=sin(θ+π4)
∴SΔocD=12sin(θ+π4)=24(sinθ+cosθ)
△OEB的面积与△OCD面积之和S＝sinθcosθ＋(sinθ＋cosθ)，
令t＝sinθ＋cosθ，θ∈[0，]，则t∈[1，]且sinθcosθ＝．
所以S＝＋t＝(t2＋t－1)＝(t＋)2－，
因为t∈[1，]，
当t＝时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】
本题考查三角函数的建模问题，涉及三角函数的最值和余弦定理的应用，注意用θ表示）△OEB的面积与△OCD面积之和．
答案第13页，总14页