线性离散系统的Z变换.doc

2.5 z传递函数
2。5。1 z传递函数的定义： 输出脉冲序列的z变换Y(z）跟输入脉冲序列z变换R（z)之比

2.5。2 连续环节（或系统）的离散化
1.冲激不变法 G（s）→G（z)
① 求G(s）的拉氏反变换h(t)（脉冲过渡函数)
② 令t=kT代入h(t）得到离散环节冲激响应h（kT)
③ 求h(kT)的z变换，得z传递函数G(z）

例2.18 试离散化连续环节，求G（z)
解：
(1)
(2） t=kT代入h(t）,得
(3）求h（kT）的z变换

2.部分分式法

例2.22 已知，求G（z）
解：

3. 留数法
若G(s）有N个不同极点，有重极点,则:

例2。25 已知,求G（z)
解：

2。5.3 z传递函数的性质
1. z传递函数与差分方程
例2.28 设线性离散系统的差分方程为：
y(kT）+3y（kT—T）+4y（kT-2T)+5y(kT-3T）
=R(kT）-3R(kT—T）+2R(kT-2T)
且初始静止。试求系统的z传递函数。
解：对差分方程作z变换得

系统的z传递函数为

或
例2。29 设线性离散系统的z传递函数为

试求系统的差分方程
解:
由

可得到:

对上式两边作z反变换,可得差分方程为
y(kT)+4y（kT—T）+5y（kT-2T)+3y（kT—3T)+2y（kT-4T）
=r（kT）+3r(kT—T）+2r(kT-2T)+r(kT-3T）+r(kT—4T）

2.开环z传递函数（方框图变换)
a) 串联环节

(1) 图2.10(a)。

是两个离散环节G1(z）， G2(z）串联.
（两个离散环节内均有采样开关)

其整体开环z传函:
G(z)= G1(z） G2(z)
例2。30 设图2.10（a)中G1（z)= , G2(z）= ,试求开环z传递函数G(z）.
解：G（z)= G1（z)G2（z)
=
=

(2) 图2。10(b）

是两个连续环节G1（s),G2(s）串联。
(其Y(z)左边有采样开关，但两环节之间没有采样开关）

其整体开环z传递函数：
G(z)=Z[G1（s)G2（s)］
= G1G2（z）
(即：两者不能直接相乘）

(3) 图2.10（c)

是两个连续环节G1(z）, G2(z)串联
（其Y(z）左边有采样开关,而且两环节之间也有采样开关)

其整体开环z传函：
G（z）= Z[G1(s)］ Z[G2（s)]
= G1（z）G2(z)

例2.31 设图2。10(b）中

G1(s)= ， G2（s)=
试求开环Z传递函数G（z）。
解： G（z）= Z[G1(s)G2(s)]
=Z[]
(部分分式） =Z［]
(求z变换)=
(通分)

例2。32 设图2。10(c)中

G1(s)= ,G2(s）= ，
试求开环z传递函数G（z）
解：G(z）= Z[G1（s）]Z[G2(s）]

=

从例2。31、例2.32可以看出串联的连续环节之间有无采样开关，开环Z传递函数是不同的.

b) 并联环节的z传函

图2.11(a）

是两个离散环节并联开环z传函为：
G（z)= G1(z）+G2（z）

图2。11（b）

图2.11（c）

图2。11(b)和图2.11(c）均为两个连续环节并联，开环z传函都是：
G(z）= Z[G1（s）］+Z［G2(s）]= G1(z)+G2（z）

2. 闭环z传函（方框图变换）

图2。12的解题过程:
(1) Y(z）是怎么来的:（Y（z）的左边有采样开关）
Y(z)= E(z)Z[G(s）]

(2) E(z）是怎么来的:（E（z)的左边有采样开关）
E（z)=Z［R（s）]－E（z) Z［G(s）］ Z[F(s)]
=R(z) － E(z) G（z) F(z）
(G（s)和F(s）之间有采样开关)

(3) 在(2）中提出E(z):

(4) 将（3）代入(1),得：

(5) 由(4)可得线性离散系统的闭环z传函:

再看图2。13

图2。13的解题过程：
(1) Y（z）是怎么来的：(Y（z）的左边有采样开关）
Y（z)= E2（z）Z［G2(s）]

(2) E2（z）是怎么来的:(E2(z)的左边有采样开关)
E2(z）=Z[R(s） G1（s)］
(∵R(s)→G1(s）之间无采样开关)

－E2(z）Z［G2（s)F(s） G1（s)］
(∵G2（s)→F(s）→G1(s）之间无采样开关）

=RG1（z） － E2（z）G2FG1（z)
(3) 上式中提出E2(z），得：

(4) 将上式代入（1） 式,可得线性离散系统的闭环z传函：

2。5.4 用z传函分析过渡过程（简介）
求出Y(z).
画y(kT) （即：Y(z)去掉z—r的曲线)

例2.34 设线性离散系统如图2。14,且a=1/s，K=1,T=1s，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。
解 ：将已知参数代入式（2—40)，可得到闭环Z传递函数

输入为单位阶跃序列时,
Y(z)=Gc（z）R(z)
=
=0。368++++++++++++++++…
由z变换的定义，离散系统输出时间序列为

由图知 调节时间约≈12s,超调量约为40%峰值时间=3s，震荡次数N=1.5次，衰减比2：1，稳态误差ess=0.

2。5。5 用传函分析误差（简介）
1. 单位阶跃输入
R(z)= ，稳态误差为

2. 单位速度输入
， 稳态误差为

3. 单位加速度输入
，稳态误差为

2.6 稳定性分析
2。6。1 s平面与z平面的映射关系

2。6。2 稳定域（单位圆）

2.6。3 稳定判据
1. 舒尔（Schour)——科恩(Cohn） 稳定判据

2劳斯(Routh）稳定判据
w变换 令代入特征方程。列劳斯表,第一列均为正，则稳定。

例2。39(P70）设有线性离散系统如图2.24所示，K=1，T=1s,试判系统的稳定性。
(参考：闭环传函P60例2。33,P61例2.34,开环传函P76例2.43）

例2.40（P71)(讨论题）
例2.41（P71） (讨论题)
例2.42(P72) (讨论题）

作业：P86。 2。10.7 , 2。10。15 , 2.12.2(选做） ， 2.14.1 2.19。1
讨论题：通过例2.39、例2。40、例2.41、例2.42，采样周期、放大系数对系统稳定性及其它指标有什么影响？（还可以讨论积分时间对于系统稳定性及其它指标的影响)