矩形、菱形、正方形讲义.doc

完整word)矩形、菱形、正方形讲义
特殊平行四边形
第一节 矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形. 

矩形性质
矩形判定

【重点内容】
①具有的一切性质; ②内角都是直角； ③对角线相等; ④全等三角形的个数；
⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理; ⑧平方等式；
⑨两种面积计算方法; ⑩有一个直角的→矩形；
⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.

【典型例题】
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为 ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等
2、（2015春•南京校级月考）下列说法:①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

A
B
O
C
D
3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，，AB=4cm，求此矩形的面积。

4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．

5、（2015•南平）如图，矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．

6、（2015•湘西州）如图,在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD,垂足分别为E，F．
(1）求证:△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．

巩固训练
1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ )
A、对角线相等 B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分 D、对角相等
2、矩形各内角平分线所围成的四边形是( )
A、矩形 B、平行四边形 C、正方形 D、菱形
3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　)
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
4、顺次连结四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,可使四边形EFGH为矩形的是( ）
A、 B、 C、 D、AD//BC
5、若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．8cm2
6、矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是( ）
A．12 B．22 C．16 D．26
7、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　　　　　　．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．

8、矩形的两条对角线的交角之一是，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm,则对角线的长为 ,较短的边的长为 ，较长的边的长为 。
9、(2015春•遂宁期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°;②AC⊥BD;③AB=BC；④AC平分∠BAD;⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有　　　　　　,是菱形的条件有　　　　　　．(填序号）
10、（2015•青羊区模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC,PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　　　　　．
11、（2015•玉林)如图，在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点（不与A,B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
(1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

12、（2015•溧水县一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1)求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

13、（2015•内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2)连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

14、如图,矩形ABCD中,周长为22cm，CE=3cm，求：DE的长。
A
B
C
E
D
F

15、（2015•得荣县三模）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF;
（2)若CE=8，CF=6,求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

菱形和正方形

A因为ABCD是菱形Þ
Þ四边形四边形ABCD是菱形。

B因为ABCD是正方形Þ
Þ四边形ABCD是正方形。
相关公式:
（1）菱形的面积计算公式： 平行四边形面积求法：底×高
(2)特殊求法：对角线的乘积

题型1、菱形的性质和判定
1、菱形的周长为20cm,两邻角的比为1：2，较短对角线的长是 ,
一组对边的距离为 ，面积是 。
2、（2015秋•兴化市校级期末）下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
3、已知菱形ABCD的对角线AC=16cm，BD=12cm,DE垂直BC于点E，求DE的长。
B
E
C
D
A
O

4、如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，
D
C
B
E
A
O
求:(1)的度数。
（2）对角线AC的长.
（3)菱形ABCD的面积.

5、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF。

求证：△ABE≌△DBF。

6、（2015春•丹江口市期末）将矩形ABCD折叠使A，C重合,折痕交BC于E，交AD于F,
(1）求证:四边形AECF为菱形;
（2)若AB=4,BC=8，求菱形的边长;
（3）在（2)的条件下折痕EF的长．

题型2、正方形的性质和判定
1、（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
2、（2015•黑龙江)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件　　　　　　,使四边形ABCD是正方形（填一个即可)．

B
A
C
D
E
F
M
3、正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，且于M，
求证：（1)；（2)AF=BE

4、（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE，CE．
(1)求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．

5、（2015春•南安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线,相交于点E，连结EC、AD．
（1)求证：四边形ADCE是矩形；
（2)当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

巩固训练
一、选择填空
1、（2015春•淮北期末）下列判断中错误的是(　　）
A．平行四边形的对边平行且相等
B．四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2、（2015•滨湖区二模）顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边

3、（2015•钦州）如图，要使▱ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是(　　）

A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
4、（2015•本溪二模）如图,在矩形ABCD中,AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（　　)

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定

5、（2015春•万州区校级月考）下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为(　　)
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③
6、（2015•湘潭）已知菱形ABCD的面积为24cm2,若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为　　　　　　　．cm．
7、（2015•江西模拟)如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　．

8、（2015•黄冈）如图,在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于　　　　　　度．

9、(2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　．

10、(2015春•大石桥市校级期末）如图,将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为　　　　　　．

11、 (2015•吉林)如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2）,点D的坐标为（0,2）,则点C的坐标为　　　　　　．
12、 （2015•长春）如图,点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　　　　　．
二、解答题
13、(2015•青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

14、（2015•北海）如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，
(1)求作:∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．

15、（2013•山西模拟)如图,∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．
(1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；
（2）猜想:∠A的大小为多少时,四边形AFEC为菱形？
（3)你认为四边形ACEF可能为正方形吗？

16、（2015•秦淮区一模）已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．
（1)求证：△ABM≌△CDN;
（2)矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时四边形AMCN是菱形，证明你的结论．

17、（2015•滨湖区校级二模）如图,四边形ABCD为矩形,E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF,∠AEB=15°．
(1）求∠ACF的度数；
(2）证明:矩形ABCD为正方形．

18、(2015•莘县三模）如图，已知:在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．
(2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论．

19、(2015•遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形;
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

20、如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点,且,
(1）如图2，延长交正方形外角平分线，试判断的大小关系，并说明理由;
图1

A
D
C
B
E
图2
B
C
E
D
A
F
P
F
（2）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

21、(2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
(1）如图（1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系?（直接写出结论不必证明）；
(2)如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由;
(3）如图（3)，当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）

22、（2015•乐陵市模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N,AH⊥MN于点H．
（1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系:　　　　　　;
（2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明;
（3)如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论)

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