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正余弦定理高中数学组卷

一．选择题（共9小题）
1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（　　）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（　　）
A． B． C． D．
6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（　　）
A． B． C． D．或
7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（　　）
A．2 B．2 C． D．
8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（　　）
A． B． C． D．

二．填空题（共7小题）
10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=　　　　　　．
11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于　　　　　　．
12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于　　　　　　．
13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=　　　　　　．
14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为　　　　　　．
15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于　　　　　　．
16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=　　　　　　．

三．解答题（共4小题）
17．（2016•白山一模）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的值；
（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．
19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．
（1）求角A的值；
（2）若a=，则求b+c的取值范围．
20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a﹣c
Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．

正余弦定理高中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）
1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．

2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，
反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，
若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．
故选A．

3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则ab：c等于（　　）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π
所以∠A=，∠B=，∠C=．
由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．
故选：C．

4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，
∴sinBcosB=sinAcosA
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
即有△ABC为等腰或直角三角形．
故选C．

5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，
∴a2+c2﹣b2=ac，
∴cosB==，
∵B为三角形的内角，
∴B=．
故选：C．

6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（　　）
A． B． C． D．或
【解答解：由正弦定理可得：sinA===
∵a=＜b=
∴
∴∠A=，
故选：B．

7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（　　）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，
∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，
可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，
∵sin2A+cos2A=1，
∴sinB=sinA，得b=，可得=．
故选：C．

8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．
即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．
∵A+B+C=π，A＞0
∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，
∴cosB=﹣，而B∈（0，π），
∴B=．
故选：C．

9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，
∴===．
再结合正弦定理得：．
故选：D．

二．填空题（共7小题）
10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=　　．
【解答】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理=得：
sinC==，
又C为三角形的内角，且c＜a，
∴0＜∠C＜，
则∠C=．
故答案为：

11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于　30°　．
【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
∵A为锐角，∴A=30°．
故答案为：30°

12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于　4　．
【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，
∴由正弦定理，
得：b===4．
故答案为：4

13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=　　．
【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，
∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，
∴由余弦定理可得：cosC===．
故答案为：．

14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为　1　．
【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．
BC+AC=AB，
两式相减，可得AB=1．
故答案为：1．

15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于　1　．
【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，
由正弦定理得，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），
∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinBsinnC），
∴R=1．
故答案为：1．

16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=　2　．
【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得 ，∴b=2，
故答案为：2．

三．解答题（共4小题）
17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：=，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，
∴C=；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为．

18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的值；
（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵．
∴由正弦定理，得，化简得cosA=，
∴A=；
（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，
解得b=2，
∴△ABC的面积S=b2sinC==．

19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．
（1）求角A的值；
（2）若a=，则求b+c的取值范围．
【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，
利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．
（2）若a=，则由正弦定理可得 ==2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．
由于，求得 ＜B＜，∴＜B+＜．
∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．

20．（2016•鹰潭一模）已知a，bc分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a﹣c
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，
∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）∵S△ABC==，B=
∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）
由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）
∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）
综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）

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