创新方案浙江专版高考数学一轮复习函数模型及其应用突破热点题型文.doc

第九节　函数模型及其应用

高频考点
考点一 一次函数、二次函数模型　　

1．以二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．

[例1]　(1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.
(2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[自主解答]　(1)设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
[答案]　(1)20

一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．

1．(2013·上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a·元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
解：(1)生产a千克该产品所用的时间是 小时，
∵每一小时可获得的利润是100 元，
∴获得的利润为100× 元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元．
(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000元，1≤x≤10.
设f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
则f(x)＝－32＋＋5，当且仅当x＝6取得最大值．
故获得最大利润为90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．

2．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断
这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；
当10－550.
综上，可知s＝
(3)沙尘暴会侵袭到N城．
∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.
∵20单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[自主解答]　(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
【方法规律】
把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．

(2014·杭州模拟)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设温室的左侧边长为x m，
则后侧边长为 m.
∴蔬菜种植面积
y＝(x－4)＝808－2(40)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
[自主解答]　(1)若m＝2，
则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，
即θ≥2恒成立，
亦m·2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．
令＝y，则0考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．

一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
解析：设经过x小时才能开车．
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.
答案：5
—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个防范——实际问题的定义域
　要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤
　(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

答