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第九节 函数模型及其应用
高频考点
考点一 一次函数、二次函数模型
1．以二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
[例1] (1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.
(2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[自主解答] (1)设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，
当x＝20时，Smax＝400.
(2)①由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
②依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤
2＝，当且仅当x＝200－x，
即x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
[答案] (1)20
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
1．(2013·上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a·元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
解：(1)生产a千克该产品所用的时间是 小时，
∵每一小时可获得的利润是100 元，
∴获得的利润为100× 元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元．
(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000元，1≤x≤10.
设f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
则f(x)＝－32＋＋5，当且仅当x＝6取得最大值．
故获得最大利润为90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．
2．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断
这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；
当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
综上，可知s＝
(3)沙尘暴会侵袭到N城．
∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.
∵20<t≤35，∴t＝30.
∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
考点二
函数y＝x＋模型的应用
[例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[自主解答] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
【方法规律】
把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
(2014·杭州模拟)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设温室的左侧边长为x m，
则后侧边长为 m.
∴蔬菜种植面积
y＝(x－4)＝808－2(4<x<400)．
∵x＋≥2 ＝80，
∴y≤808－2×80＝648.
当且仅当x＝，
即x＝40时取等号，
此时＝20，y最大值＝648(m2)．
即当矩形温室的边长各为40 m、20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.
考点三
指数函数模型
[例3] 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
[自主解答] (1)若m＝2，
则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，
即θ≥2恒成立，
亦m·2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．
令＝y，则0<y≤1，
∴m≥2(y－y2)恒成立，
由于y－y2≤，∴m≥.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
【方法规律】
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
解析：设经过x小时才能开车．
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.
答案：5
—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个防范——实际问题的定义域
要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
答
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