圆的垂径定理及推论知识点与练习.doc

圆的垂径定理及其推论知识点与练习
G
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB⊥弦CD于点E，则CE=DE，⌒ AC=⌒ AD；⌒ BC=⌒ BD
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
F
若CE=DE，AB是直径，则⌒ AC=⌒ AD；⌒ BC=⌒ BD
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB⊥CD，CE=DE，则CD是直径，⌒ AC=⌒ AD；⌒ BC=⌒ BD
G
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC=⌒ AD，AB是直径，则AB⊥CD，CE=DE，⌒ BC=⌒ BD
④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD∥FG，CD、FG为弦，则⌒ FC=⌒ GD
特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．
（3）垂径定理及推论的应用：
它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；
②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；
O
A
B
D
C
例：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，
圆的半径为2cm，求AB的长。
解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB交AB于点C，由题意得，∵⌒ AB= ×360º=120º
∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt△AOC中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC=OA=1，∴AB=2AC=2=2
故AB的长为2
练习
一、选择题
1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）
A、CM=DM B、∠ACB=∠ADB C、AD=2BD D、∠BCD=∠BDC

（1题图） （2题图） 3题）
2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m，∠CAD=30°，则大棚高度CD约为（　　）
A、2.0m B、2.3m C、4.6m D、6.9m
3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为（　　）
A、4cm B、5cm C、6cm D、8cm
4、半径为2cm的圆中，有一条长为2cm的弦，则圆心到这条弦的距离为（　　）
A、1cm B、 cm C、 cm D、2cm
5、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=BE D、⌒ BC=⌒ BD
（题5） （题6）
6、如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（　　）
A、9cm B、6cm C、3cm D、1cm
二、填空题
1、如图1中有 对全等的直角三角形；有 个等腰三角形；有 条相等的弧。 题1
C
D
A
O
B
E
（题2） （题3）
2、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，则⊙O的半径为 cm．
3、如图所示，⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，则CD= cm．
4、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。
5、已知圆的半径5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
6、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ____。
7、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。
9、⊙O的直径为20，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 。
10、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。
三、解答题
1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
2、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。
C
A
B
D
E
3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
题1
题2
题3
O
A
P
B
C
O
A
B
C
D
E