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如何判定是简谐运动

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如何判定物体作简谐振动

田培银 (６4141８四川省简阳市三岔中学)
李良春 (61０043四川省成都市武侯高级中学)
一、概念和规律
　 　１、定义：〔象弹簧振子那样)物体在跟位移〔相对于平衡位置)大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动,叫做简谐运动。
　2、动力学特点:　 F回= -kx　。
３、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为:Ｔ=２π 。
故:简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数〔回复
系数〕的平方根成反比,而与振幅无关。
对弹簧振子而言:弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的
平方根成反比，而与振幅无关。
二、判断简谐运动的方法:
例1、 如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗?图中接触面均光滑。
　 解析:图1中, 从能量角度考虑,小球将在斜面
AB与BＣ上往复运动，是机械振动.小球在AB
斜面上的运动．受重力和斜面弹力作用：在垂直
斜面方向上,重力的分力Gｃosα与斜面弹力N
平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα
沿斜面ＡB向下，为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动
时,其受力Gsiｎβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球
在AＢC斜面上的受力情况.不满足Ｆ回=　-kｘ的关系,故不是简谐运动.
图２中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AＢ与ＢC上往复运动,是机械振动．小球在光滑圆
弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径Ｒ方向,弹力N与重力的分力Gｃｏｓθ提供
向心力;在轨道切线方向上,　重力的分力Gsinθ提供回复力．即:
F回=　Gsinθ,当θ≤5O时, sinθ≈θ.弦弧│　 │， 小球相对于平衡位置的位移
x＝ │ │=s＝Rθ,那么F回= Ｇsinθ≈Gθ≈．
对指定的小求和凹槽轨道，ｍ、R均为定值，故为一不变的常量，再考虑到回复力F回与振
动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,那么F回= －kx 。故当θ≤5Ｏ时,小球的运动是简谐运动.
例2、截面为S,长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。静止时，它浸入水中的局部长度为
l0，现将木棍稍向上提起,然后松手。试证明：松手后,木棍做简谐运动〔水的阻力忽略不计〕。 　 　 　
　解析:以木棍为研究对象,木棍受到浮力和重力的作用，木棍处于平衡时,与水平相交于A点。取Ａ点为平衡位置(为什么？)取向上方向为正方向,如图３。
根据牛顿第二定律,当木棍静止在水面时有: 　 　 　
ρ木ｌｓg－ρ水ｌ0sｇ＝0 　　…………(1) 　 　　 　 　
假设木棍偏离平衡位置x,木棍所受合力:
　 F合＝F浮－mg=ρ水(ｌ0-sg)－ρ木lsｇ 　……〔2〕 　 　
　　　(１〕(２)联解:F合=-ρ水sgｘ
设ρ水ｓg＝ｋ，那么有：F合＝－kx。　 　 　 　 　 　 　
根据简谐于运动的定义,木棍在水面上下的振动是简谐运动。 　 　　 　 　 　　　　 　 　　 　　 　 　 　 　 　　 　　　　 　

例3、如图４ 所示，A、B为半径、材料均一样的转动轮，以
一样的角速度ω分别绕O１、O２转动，且转动方向相反,Ｏ1Ｏ2＝2d。一
质量分布均匀的木条，其重心偏离AＢ的中心放在两轮上，
设木条与轮之间的动摩擦因数为μ。试证明:木条在两轮
的摩擦力作用下的运动是简谐运动，并求其周期。 　 　　 　　　　　　　 　　　 　 　 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　
证明：对木条进展受力分析，如图4所示。木条受重力和A、
B轮的支持力NＡ、NＢ，及摩擦力fＡ、fB。在竖直方向上处于平衡,
有NA＋NB=mg。
　 木条还处于转动平衡,以Ａ为转动轴有， ｍg〔d　＋　ｘ〕=NB·2d　 木条所受的沿水平方向的合力就是回复力，∑F=fA－fB＝μ〔NA-NＢ)=μ(ｍg-２ ＮＡ)＝－μｍgx/d.
设μｍｇx/d＝k,∑F＝-kx。故为简谐运动。
根据简谐运动周期公式Ｔ＝2π＝２π。
例4、试证明:弹簧振子在竖直方向上的振动也是简谐运动。
分析：物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比,并且方向总是指向平衡位置。因此想要证明弹簧振子在竖直方向的振动为简谐运动,只需证明它在振动中所受的一切外力的合力满足F=-kx这一数学关系。
证明：用k表示弹簧的劲度系数，m表示振子的质量,x0表示振子在平衡位置时弹簧的伸长量。O为平衡位置。如图5所示.
当振子处于平衡位置时,振子受力：
　 kｘ0＝mg ……………(１)
假设将振子由平衡位置O向下拉一段位移x到达A时,然
后松手，振子将在竖直方向上振动起来。其振动范围是以平衡
位置Ｏ为中心,向上、向下的最大位移都是x。取在平衡位置
O下方的任意位置A为例,此时振子所受回复力为F，位移为ｘ’.
　 F＝mg－k(x0+x＇〕……………(２)
(１〕、〔2)得:F=k　x0－k(x0＋x＇)＝-kx'
　 故：弹簧振子在竖直方向上的振动是简谐运动。 　 　 　 　 　　　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　 　　 　 　　　 　 　 　

　 已寄: ?中学物理??学习报??物理报??中学生理化报?√?中学生物理?
　 已发： 　1、?中学生理化报?20０1。2。18 　　 　　稿费:７0。0０元