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第三课时:切割线定理、割线定理和切线长定理.doc

1、与圆有关的定理第三课时:切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系,一是直线与圆无交点,叫相离,二是直线与圆只有一个交点,叫相切,这条直线叫做圆的切线,三是直线和圆有二个交点,叫相交,这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是:把圆的任意一条弦向两方无限延长,这条直线就是圆的割线。1、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1,几何语言:PT切O于点T,PBA是O的割线 PT=PAPB(切割线定理) 如图2,设ABP是O的一条割线,PT是O的一条切线,切点为T,则PT2=PAPB 证明:连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定

2、理) P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB:PT=PT:AP 即:PT=PBPA 2、推论(割线定理): 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如图3,几何语言: PT是O切线,PBA,PDC是O的割线 PDPC=PAPB(切割线定理推论)由上可知:PT=PAPB=PCPD 3、切线长定理:若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。(1)切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一

3、条直线,它不可以度量长度。( 2)几点说明 对于切线长定理,应明确(1)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(2)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。 (3)推论:圆的外切四边形对边和相等(圆的外切四边形性质定理,逆定理成立);圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长基础知识运用:例1.如图4,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。 解:由切线长定理知:AFAB1,EFCE 设CE为x,在RtADE中,由勾股定理

4、(1+x)=(1-x)+1,x= DE=1- =,AE=1+= ,DE:AE=:=3:5针对性练习:1、已知:PA、PB切O于点A、B,连结AB,若AB8,弦AB的弦心距3,则PA( ) A. B. C. 5 D. 8例2.如图5,P是O外一点,PC切O于点C,PAB是O的割线,交O于A、B两点,如果PA:PB1:4,PC12cm,O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是_cm。 解:PC是O的切线,PAB是O的割线,且PA:PB1:4 PB4PA 又PC12cm由切割线定理,得 PC=PAPB 12=PA4PA PA=36, PA=6(cm) PB4624(cm) AB24618(cm) 设圆心O到AB距离为d cm, 由勾股定理,得 d=(cm) 故应填。,针对性练习:2.已知:O和不在O上的一点P,过P的直线交O于A、B两点,若PAPB24,OP5,则O的半径长为_。3.若PA为O的切线,A为切点,PBC割线交O于B、C,若BC20, ,则PC的长为_。4、如图6,已知P为O的直径AB延长线上一点,PC切O于C,CDAB于D,求证:CB平分DCP。参考答案:1、 A 2、 1 3、30 4、证明:如图7,连结AC,则ACCB CDAB,ACBCDB,A1 PC为O的切线,A2,又12, BC平分DCP

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