第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理.doc

与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1，几何语言：PT切O于点T，PBA是O的割线 PT=PAPB（切割线定理） 如图2，设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT2=PAPB 证明：连接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT=PBPA 2、推论（割线定理）： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如图3，几何语言： PT是O切线，PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）由上可知:PT=PAPB=PCPD 3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。（1）切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（ 2）几点说明 对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。 （3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 解：由切线长定理知：AFAB1，EFCE 设CE为x，在RtADE中，由勾股定理 (1+x)=(1-x)+1,x= DE=1- =，AE=1+= ，DE：AE=：=3:5针对性练习：1、已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（ ） A. B. C. 5 D. 8例2.如图5，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_cm。 解：PC是O的切线，PAB是O的割线，且PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm由切割线定理，得 PC=PAPB 12=PA4PA PA=36， PA=6（cm） PB4624（cm） AB24618（cm） 设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得 d=（cm） 故应填。,针对性练习：2.已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O的半径长为_。3.若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20， ，则PC的长为_。4、如图6，已知P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。参考答案：1、 A 2、 1 3、30 4、证明：如图7，连结AC，则ACCB CDAB，ACBCDB，A1 PC为O的切线，A2，又12， BC平分DCP