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完整word)正弦定理练习题
第一章 解三角形
一、选择题。
1。 在△ABC 中，b = 8，c =，S△ABC =，则∠A 等于（ )
A。 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º
2。 在△ABC中，若a = 2b sin A，则∠B为（ ）
A。　　 　　　B.　　 　　　C.或　　 　 　　D。或
3。 △ABC中，下述表达式：①sin（A + B）+ sinC;②cos(B + C)+ cosA；
③，其中表示常数的是（ ）
A. ①和② B. ①和③
C。 ②和③ D. ①②③
4。 在△ABC中，“A = B”是“sin A = sin B”的( )
A. 充分不必要条件 B。 必要不充分条件
C. 充要条件 D。 即不充分又不必要条件
5. 已知 a，b，c 是△ABC三边的长，若满足等式(a + b - c)（a + b + c)= ab，则∠C的大小为（ )
A。 60º B。 90º C。 120º D。 150º
6. 若△ABC满足下列条件:
① a = 4，b = 10，ÐA = 30°;
② a = 6，b = 10,ÐA = 30°；
③ a = 6，b = 10,ÐA = 150°；
④ a = 12,b = 10，ÐA = 150°；
⑤ a + b + c = 4，ÐA = 30°，ÐB = 45°.
则△ABC恰有一个的是( )
A。 ①④ B。 ①②③ C. ④⑤ D。 ①②⑤
7。 △ABC中，若 sin(A + B）sin（A — B）= sin2 C,则△ABC 是( )
A。 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D。 等腰三角形
8. △ABC中，若a，b，c成等差数列，则∠B的取值范围是( ）
A. B。 C. D.
9. 在△ABC中，若∠C = 60º，则cos A cos B的取值范围是( ）
A. B. 　　 C. D。 以上都不对
10. △ABC 中，若其面积 S =(a2 + b2 - c2)，则∠C =（ ）
A. B。 C. D。
二、填空题.
1. 在△ABC 中，如果 sin A ： sin B ： sin C = 2 ： 3 : 4，那么cos C等于 .
2。 若△ABC的三内角ÐA,ÐB，ÐC满足 sin A = 2sinCcos B，则△ABC为　 　三角形。
3。 若△ABC的三边长分别为4,5，7,则△ABC的面积 =　　　　　， 内切圆半径 = 　　　　　.
4.若△ABC的三内角A,B，C成等差数列，则cos2 A + cos2 C的最小值为 .
5。 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东处;行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东处。 这时船与灯塔的距离为 km。
6。 在△ABC中,已知 AB = l，∠C = 50°，当∠B = 时，BC的长取得最大值。
三、解答题.
1。 如图△ABC中,点D在边 BC上，且BD = 2,DC = 1，∠B = 60°，∠ADC = 150°，求AC的长及△ABC的面积。

2。 在△ABC中，A = 45°，B : C = 4 ： 5，最大边长为10，求角B，C，△ABC外接圆半径R及面积S。

3。 在△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边,且。
（1)求∠A的大小；
(2）若a =，b + c = 3，求b和c的值.

4。 海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。 一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B正好在北偏东75° 的位置;航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°的位置. 若此舰不改变舰行的方向继续前进，此舰有没有触礁的危险？

参考答案
一、选择题。
1. C
【解析】 bc sin A = 16,
∴ sin A =，
A = 30° ，或 150° 。
2。 D
【解析】 =,
∴ ，
∴ sin B =,∴ B =，或p.
3。 C
【解析】 ①sin(A + B)+ sin C = 2sin C，不一定为常数.
②cos（B + C)+ cos A = — cos A + cos A = 0,
③tantan= tantan= cottan= 1。
∴ ②和③为常数.
4. C
【解析】 A = Bsin A = sin B，
若sin A = sin B，又∵ A + B＜p，
∴ A = B.
5。 C
【解析】 原式可化为 a2 + ab + b2 - c2 = 0，
∴ cos C == —，
∴ C＝120°。
6。 C
【解析】 ①∵ bsin A = 10×sin 30° = 5,且4＜5，
∴ △ABC不存在.
②∵ bsin A = 10×sin 30° = 5,且5＜6＜10，
∴ △ABC有两解。
③∵ ∠A = 150° 且a＜b，
∴ △ABC不存在。
④∵ ∠A = 150° 且a＞b，
∴ △ABC有一解.
⑤ 由已知，得∠C = 105°。
当时，各边有正数解。
∴ △ABC有一解。
∴ ④⑤符合题条件。
7. B
【解析】 sin(A + B）sin（A — B）= sin2 C，
∴ sin C sin(A - B）= sin2 C.
∵ C∈(0,π），
∴ sin(A - B)= sin C = sin（A + B)。
∴ sin A cos B — cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B，
∴ cos A sin B = 0,
∴ A =。
∴ △ABC为直角三角形。
8. A
【解析】 ∵ 2b = a + c,
∴ 4b2 = a 2 + c2 + 2ac.
∴ cos B == 1 +。
∴ 2b = a + c≥2。
∴ ac≤b2。
∴ cos B≥- 1=,
∴ B∈.
9. A
【解析】 cos A cos B = cos（120º- B)cos B
=（-cos B +sin B）cos B
= -(1 + cos 2B）+sin 2B =sin(2B - 30º)—，
∵ B∈(0º,120º）,
∴ —30°＜2B — 30°＜210°。
∴ 由图象知cos A cos B∈。
10。 C
【解析】 由题知ab sin C =(a2 + b2 — c2)，
∴ sin C == cos C，
∴ C =.
二、填空题.
1。 —
【解析】 因为sin A ： sin B : sin C = a ： b ： c = 2 ： 3 : 4,
所以设 a = 2k，b = 3k，c = 4k.
cos C === —.
2。 等腰.

【解析】 ∵ sin A = sin（B + C）= 2sin C cos B,
∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B，
∴tan B = tan C,
∵ B，C∈（0，p)，
∴ B = C。
即为等腰三角形。
3。 4；。
【解析】 ∵ cos a == —,
∴ sin a =。
∴ S =×4×5×= 4。
∵ ，
∴ .
4. 。
【解析】 ∵ C + A = 2B,∴ B =。
设A =— x,C =+ x，则
cos2 A + cos2 C = cos2(— x)+ cos2（+ x）=（cos x +sin x）2 +
（cos x —sin x）2 =cos2 x+sin2 x =+ sin2 x≥。
5。 。
【解析】 ，
BC =××60 = 30.
6. 40°。
【解析】 ，
∴ BC =≤，
∴ sin(50° + B）= l 时，BC最长，
此时 B = 40°.
三、解答题。
1. 【解】在△ABC中，∠BAD = 150º- 60º= 90º,∴ AD = 2sin 60º =。
在△ACD中，AC2 =(）2＋12－2××1×cos150º= 7,
∴ AC =.
∴ AB = 2cos 60° = 1，S△ABC =×1×3×sin60°=。
2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°,可得 B = 60°,C = 75°。
由正弦定理，R == 5（－）。
由面积公式,S =bcsin A = c · 2Rsin Bsin A = 75－25.
3。 （1）【解】由及A + B + C = 180°,
得2［1-cos(B + C)］—2cos2 A + 1 =，
∴ 4（1 + cosA)- 4cos2 A = 5,
即4 cos2 A— 4cos A + 1= 0，∴ cos A =，
∵ 0°＜A＜180°，
∴ A = 60°。
(2)【解】由余弦定理，得，
∵ cos A =，∴ =,
∴ （b + c)2 - a2 = 3bc.
将a =，b + c = 3代入上式，得bc = 2.
由 得 或
4。【解】如图，过点B作BD⊥AE且交AE于D.
由已知，AC = 8,∠ABD = 75º，∠CBD = 60º.
在Rt△ABD 中，AD = BD · tan∠ABD = BD · tan 75º。
在Rt△CBD 中，CD = BD · tan∠CBD = BD · tan 60º。
∴ AD - CD = BD(tan 75º- tan 60º）= AC = 8，
∴ BD == 4＞3。8。
∴ 该军舰没有触礁的危险.

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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