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完整版)《实数》培优材料
七年级数学培优讲义（2）
一、实数：
(一)【内容解析】
（1)概念:平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；
要准确、深刻理解概念.如平方根的概念：①文字概念:若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；②符号概念：若,那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么.
（2)性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；
②在算术平方根中,其结果是非负数,即≥0；
③计算中的性质1：（a≥0）；
④计算中的性质2：；
⑤在立方根中，（符号法则)
⑥计算中的性质3:；
（3）实数的分类:
（二分法) (三分法）
（二）【典例分析】
1、利用概念解题：
例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。
练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。
2．若2a＋1的平方根为±3,a－b＋5的平方根为±2,求a+3b的算术平方根。
例2、解方程(x+1)2=36.
练习:（1）　　　 　（2）
2、利用性质解题：
例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11,求这个数．
变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是 ；
②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为 。
例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值
例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
例4．已知与互为相反数，求的值.
练习: 1。若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值.
2。 若(x－3）2＋=0，求x＋y的平方根;
3。 已知求的值。
4. 当x满足下列条件时，求x的范围。
① =x－2 ② = ③=x
5。 若，则的值是
3、利用取值范围解题：
例1。 已知有理数a满足，求的值.
3、利用估算比较大小、计算:
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数,先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例1．比较与的大小
说明：比较大小的常用方法还有：
①差值比较法:
如：比较1－与1－的大小。
解 ∵(1－)－（1－）=－＞0 , ∴1－＞1－。
②商值比较法(适用于两个正数）
如：比较与的大小。
解:∵÷=—1＜1 ∴＜
③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数,再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。（以后介绍）
④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
如：当0〈x〈1时，,,的大小顺序是____________.
解：（特殊值法）取=，则：=，=2。∵＜＜2，∴＜＜。
例2．若的小数部分是a， 的小数部分是b，求a+b的值。
例3。计算：①(—） ②
练习:1.估计＋1的值是( ）
（A)在2和3之间 (B）在3和4之间 (C）在4和5之间 （D）在5和6之间
2．比较大小:① 1；②3 2。1（填“〉"、“〈”）
4、利用数形结合解题:
例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简｜a+b|+的结果是（ )
a
0
b
A、2b B、2a
C、－2a D、－2b
0
1
C
A
B
例2 如图，数轴上表示1、的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )
A、－1 B、1－
C、2－ D、－2
(三）【常见错误诊断】
1、混淆平方根和算术平方根:
①由-3是9的平方根得：=—3。 ②由81的平方根是±9得=±9
③是5的平方根的相反数
2、混淆文字表示和符号表示：
①的算术平方根是4； ②的立方根是4
3、概念理解不透彻：
（1)平方根、算术平方根的概念不清:
①是6的平方根；②6的平方根是；③与互为相反数;
④a的算术平方根是
（2）无理数的概念不清：
①开方开不尽的数是无理数; ②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；
填空：在—1。414，，π, 3。,2+,…,，，0.303003.这些数中，无理数的个数有 个；
4、计算错误:
①=；②③④若x2=16，则x==4.
5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）
①若代数式有意义，则的取值范围是
②若代数式有意义，则的取值范围是
6、公式用错：
①；②=3。14—π；②若c满足，则c=-3
（四）【巩固练习】
1．
B. 8 C。 D.2
2．如果，那么y 的值是（ ）
A. 0.0625 B。 —0。5 C. 0。5 D .±0.5
3．下列说法中正确的是( ）
　A。的平方根是±3 　B。1的立方根是±1　 C.=±1 　D.是5的平方根的相反数
4．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
5．若=3.136,则=（ ）
A、0.03136 B、0.3136 C、±0.03136 D、±0。3136
6．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ )
A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0
C . 7 2 的平方根是7 D。 负数有一个平方根
8．若—3，则的取值范围是( ）。
A. ＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤3
9．若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为( ）
A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对
10。 在，3。1415926，，，,这6个数中,无理数有 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若一个数的立方根等于它的算术平方根,则这个数是 .
12．若和都是5的立方根,则= 。
13．观察下列各式：,……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数)符合以上规律，则＝ .
14．由下列等式：，，……所揭示的规律，可得出一般的结论是 （用字母n表示，n是正整数且n〉1）.
15．比较下列实数的大小：① 12 ② 0.5；
16．一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的 倍;一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。
17．计算：
① ②
18．已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是的整数部分，求
的平方根。
19．已知a、b满足，解关于的方程
20．若，,，求a+b的值
21。 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，求(x—1）2+（+8）2的平方根。
22．已知点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且a、b满足，点C是数轴上不同于A、B的一动点，其对应的数为c.
(1)若C运动到使AB=BC时，求点C所对应的数；
（2）若c满足，试化简：
(3）当C运动某一位置时，实数c满足，试求线段BC的长。
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