函数与方程导学案.doc

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3.1函数与方程导学案
学习目标
1。 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定条件。
3. 结合二次函数图象的性质,简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。
4。 理解二分法求方程近似解的实质　　
5.通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性
教学重点：
1.方程的根与函数的零点的关系。
2.一元二次方程实根分布及其简单运用
3.理解二分法求方程近似解的实质
4.通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性
教学难点：
1。求函数零点的个数问题。
2.一元二次方程实根分布及其简单运用
3.理解二分法求方程近似解的实质
学习过程
任务一、课前准备
（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处)
复习1：一元二次方程+bx+c=0 （a0)的解法.
判别式= .
当 0,方程有两根，为 ；
当 0，方程有一根,为 ；
当 0，方程无实数。
复习2：方程+bx+c=0 (a0）的根与二次函数y=ax+bx+c (a0）的图象之间有什么关系？
判别式
一元二次方程
二次函数图象

任务二、新课导学
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
（1)方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 。
（2）方程的解为 ,函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
（3）方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点,坐标为 。
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到吗？
新知：
一、零点的概念:对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point).
反思:
函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系？

试一试：
(1）函数的零点为 ; （2）函数的零点为 .
小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。
探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出的图象，求的值，观察和的符号

② 观察下面函数的图象，

在区间上 零点; 0；
在区间上 零点; 0；
在区间上 零点； 0.
新知：
二、零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有〈0那么,函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗?试结合图形来分析.
思考
1 方程有实数根，函数的图象与轴有交点，函数有零点三者之间有 什么联系?
2 求函数的零点的方法？即求方程的实数根；
例1 判断下列函数是否有零点.
（1） f (x）=3- x[—1,0］
(2） x

练1 、方程必有一个根的区间是（ ）

练2、 y=与y=（）的图像交点为(x，y）则x所在区间是（ ）
A （0,1） B(1,2) C （ 2，3) D （ 3，4）
练3、当 时,函数在区间上存在零点．（给出一个实数值即可)

例2（1）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f（x），且当x∈[0,1］时,f（x）＝x，则函数y＝f(x）－log3｜x|的零点个数是。 （　　)
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个

（2)．f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3

练4、（1）方程在实数解的个数 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3
（2）若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点 （　　)
A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数

练5．函数的零点个数为 ．

练6、判断下列函数零点的个数.
（1） f(x）=— （2）f（x)=e+4x-4 （3) f(x）=lnx+x-2

三、一元二次方程根的分布
思考归纳
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表
表一：(两根与的大小比较）
分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象(）

得出的结论

表二：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象(）

得出的结论

或

例3、求实数的范围，使关于的方程的两根情况如下：
(1）两个负根；
(2）两根都小于1；
（3）两根都大于1 ；
(4）一个根大于1,一个根小于1；
（5）两个根都在（0，2）内 ;
(6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内；
(7）一个根在（—2 ,0)内,另一个根在（1 ，3)内。

练7、若方程的两个根，都小于-1，求的取值范围。

练8、已知关于的方程有两个实根,其中一根在(0，1)之间，另一根在
（—1，0)之间，求实数的取值范围。

练9、若方程在(0，1）内恰有一解,求的取值范围.

四、用二分法求方程的近似解

1．函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是_______的一条曲线，并且有__________,那么，函数在区间内有零点，即存在_____使得,这个也就是方程的___.
2．一般地，我们把_________称为区间的中点．
3．对于在区间上_________且_________的函数,通过不断地把函数的零点所在 的区间_________,使区间的两个端点________零点,进而得到零点_________的方法叫做二分法。
给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤是:
(1）确定区间_________,验证,给定精确度；
(2)求区间的中点____；
(3）计算;
①若_________，则就是函数的零点;
②若，则令_________(此时零点）；
③若，则令_________（此时零点）.
4．判断是否达到精确度:即若_________,则得到零点近似值（或）,否则重复（2）～(4）.
例4、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是_____________。

例5．（1）函数的零点能用二分法求吗?请说明理由．
(2）能用二分法求方程在区间内的近似解吗？如果有，能否判断
方程在区间内至少有两个不同的根．

例6、用二分法研究函数f（x）＝x3＋ln的零点时，第一次经计算f(0）〈0，>0,可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为 （　　)
A。　 B．(0，1)　f C。　 D。　

练10：
1．已知函数的图像如右图所示，函数所对应的方程为，下列有关用二分法
求方程解的说法中正确的是（ )
A．方程在上满足，所以方程在上无解
B．区间不可以作为方程某根的初始区间
C．区间可以作为方程的某根的初始区间
D．方程在区间上满足，所以方程在此区间上有一解

2．若某一方程有一无理根在区间内，若用二分法求此根的近似值，将等分
( ）次后，所得近似值可精确到．
A．3 B．4 C．5 D．6

3．用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是( ）

A． B． C． D．
4．设， 用二分法求方程内近似解的过程中，
计算得到 则方程的根落在区间（ ）
A．(1，1。25） B．（1.25,1.5） C．(1.5,2) D．不能确定

5．欲求曲线与直线的交点横坐标的近似值，可以转化为用二分法
求函数 的零点近似值．
6．用二分法逐次计算函数的一个正零点附近的函数值,参考数据
如下表:

由表求方程精确到的一个近似解为 ．

1．全面认识深刻理解函数零点：
（1）从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
（2)从“形”的角度看：即是函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标；
（3）若函数f（x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
(4）若函数f（x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
2．求函数y＝f（x)的零点的方法：
(1）(代数法）求方程f(x）＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等）;
（2）(几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y＝f（x)的图象联系起来,并利用函数的性 质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f（a）·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零 点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
（1）若连续不间断的函数f(x）是定义域上的单调函数,则f（x)至多有一个零点；
（2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;
(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．

任务三、巩固训练
第一题：选择题

1． 已知函数，则（ ）
A．有一个零点 B．有两个零点
C． 有一个或两个零点 D．无零点

2． 已知函数的图象是连续不间断的,有如下的对应值表

1
2
3
4
5
6

123。56
21.45
－7。82
11.57
53.76
－126。49
函数在区间上的零点至少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列函数零点不宜用二分法的是(　　）
A．f(x)＝x3－8　　 B．f(x）＝lnx＋3 C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f（x）＝－x2＋4x＋1
4．若方程有两个根，则的取值范围是（ )
A． B． C． D．
5．设函数若，则函数的零点的个数为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．4
6．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C．和 D．
7．二次函数的图象开口向下，对称轴为，在图象与轴的两个交点中,一个交点的横坐标，则有（ ）
A. B． C． D．
8．无论取哪个实数值，函数的零点个数都是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
9．
A。 1个 B。 2个 C. 3个 D。 1个或2个或3个
10．已知函数若，则（ )
A． B． C． D．与大小不能确定
11．函数f (x）＝ 若关于x的方程［f （x）］2＋b·f （x）＋C＝0,恰有3个不同的实数解x1、x2、x3，则f （x1＋x2＋x3）等于(　　)
A、0　　　　　　B、1　　　　　C、lg4　　　　　　D、lg2
第二题：填空题
12。 若一次函数有一个零点2,则二次函数的零点是 。
13. 根据下表，能够判断方程有实数解的区间是 。

－1
0
1
2
3

－0。677
3.011
5。432
5.980
7.651

－0.530
3.451
4.890
5。241
6.892
14. 设、分别是方程的根,则＋＝ 。
15。 关于的方程的两根满足，则的取值范围为 。

16．用二分法求函数y＝f（x）在区间（2,4)上的近似解，验证f(2）·f(4）<0，给定精确度ε＝0。01,取区间(2，4）的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1）〈0，则此时零点x0∈________(填区间)．
第三题：解答题
17．求下列函数的零点：（1)； (2）．

18．已知二次函数．
（1）若，判断函数零点的个数；
（2）若，证明方程必有一个实根属于．

19（1）求函数的零点
（2)设函数，求函数的零点

20（1)若直线与函数的图象有两个公共点,
求则的取值范围是
(2）若关于x的方程有四个不相等的实根,求实数m的取值范围
分析:

21 （1) 一元二次方程的两根都大于5，求实数a的取值范围．
（2）关于的方程的一根大于1,另一根小于1，求的取值
范围．

22．已知函数f（x)＝－x2＋2ex＋m－1,g（x）＝x＋（x〉0）．
(1）若g（x）＝m有零点，求m的取值范围；
（2)确定m的取值范围，使得g（x）－f(x）＝0有两个相异实根．