2023届浙江杭州余杭区数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（　　）

A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．
3．的相反数是（ ）
A． B． C． D．3
4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．6
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（ ）

A． B． C．3 D．
7．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）．

A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．圆柱体
8．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是( )

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
9．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（　　）千米．
A．3 B．30 C．3000 D．0.3
10．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上 B．人中至少有人的生日相同
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．实数的绝对值是非负数
11．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C(　　)

A．54° B．27° C．36° D．46°
12．函数y=mx2+2x+1的图像 与x轴只有1个公共点，则常数m的值是（ ）
A．1 B．2 C．0,1 D．1,2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一张矩形的纸片ABCD中，AB=10，AD=8.按如图方式折，使A点刚好落在CD上。则折痕（阴影部分）面积为_________________.

14．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).

15．已知，则＝____
16．已知函数，当时，函数的最小值是-4，实数的取值范围是______.
17．如图，矩形中，，点在边上，且，的延长线与的延长线相交于点，若，则______.

18．如图，一次函数的图象交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数的图象于点，若，且的面积为2，则k的值为________　

三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；
（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；
（3）求线段BC的长．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；
（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．
21．（8分）如图，在中，，为边上的中线，于点E.

（1）求证：；
（2）若，，求线段的长.
22．（10分）如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，求正方形ABCD的面积．

23．（10分）如图，在下列（边长为1）的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个点，并写出点的坐标．

（1）经过，，三点有一条抛物线，请在图1中描出点，使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上；则点的坐标为______；
（2）经过，，三点有一个圆，请用无刻度的直尺在图2中画出圆心；则点的坐标为______．
24．（10分）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动.顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：
两球所标数字之和
3
4
5
6
7
奖励的购书券金额（元）
0
0
30
60
90
（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；
2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均教的方法说明理由.
25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．

26．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1），
可设新抛物线的解析式为：y=（x-h）1+k，
代入得：y=（x+1）1-1．
∴所得图象的解析式为：y=（x+1）1-1；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
2、C
【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根据三角形三边关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值.
【详解】
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，
作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴四边形ABOC为正方形，
∴OA＝BC＝2，
∴OB＝BC＝，
∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），
∴AP的最小值为2﹣．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3、A
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【详解】的相反数是-，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
4、C
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5、B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故选B．
【点睛】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
6、B
【分析】将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，
根据题意得：，
解得：，
∴交点C的坐标为（，），
故选：B．
【点睛】
考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的解析式．
7、B
【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为三棱柱．故选B.
8、B
【分析】由题意可以知道M（1，2），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+2，
a=-0.1．
∴抛物线的解析式为：y=-0.1（x-1）2+2．
当y=0时，
0=-0.1（x-1）2+2，
解得：x1=-1（舍去），x2=2．
OB=2米．
故选：B．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
9、A
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设这条道路的实际长度为x，则=，
解得x=300000cm=3km．
∴这条道路的实际长度为3km．
故选A．
【点睛】
本题考查成比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换
10、D
【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．
【详解】A. 抛掷个均匀的骰子，出现点向上的概率为 ，错误．
B.367人中至少有人的生日相同，错误．

C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．
D. 实数的绝对值是非负数，正确．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．
11、C
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.
【详解】解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝∠AOB＝36°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
12、C
【解析】分两种情况讨论，当m=0和m≠0，函数分别为一次函数和二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，列式求解即可．
【详解】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：b2-4ac=4-4m=0，
解得：m=1．
∴m=0或m=1
故选：C.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、25
【分析】根据折叠利用方程求出AE的长即可
【详解】设，则
∵折叠
∴
∴
∴
∴DF=4
∴

解得
∴
故答案为25
【点睛】
本题考查了折叠与勾股定理，利用折叠再结合勾股定理计算是解题关键。
14、
【解析】试题分析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为一个900角的扇形面积与一个450角的扇形面积的和：．
15、1
【分析】由，得a＝3b，进而即可求解．
【详解】∵，
∴a＝3b，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
16、
【分析】将二次函数化为顶点式，可知当时，函数的最小值为，再结合当时，函数的最小值是-4，可得的取值范围.
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，当，二次函数的最小值为
∵当时，函数的最小值是-4
∴的取值范围是：.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.
17、
【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.
【详解】设BC=EC=a,
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△ECF，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴tanF==
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
18、
【解析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS可证明△AOB≌△CDB，从而证得S△AOC=S△OCD，最后再利用k的几何意义即可得到答案.
【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示，

∵在△AOB与△CDB中，，
∴△AOB≌△CDB（AAS），
∴S△AOB=S△CDB，
∴S△AOC=S△OCD，
∵S△AOC=2，
∴S△OCD=2，
∴，
∴k=±4，
又∵反比例函数图象在第一象限，k>0，
∴k=4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握判定定理及k的几何意义是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）5．
.
【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；
（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；
（3）直接利用勾股定理得出答案．
【详解】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；
（2）如图所示：点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；
（3）线段BC的长为： =5．
【点睛】
此题主要考查关于坐标轴对称点的性质,勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
20、（1）y＝x2﹣x+1； （2）Q（1，﹣1）；（3）M（2，1）
【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），由AB＝，所以（t﹣2）2+1＝2，求出B（1，0）或B（3，0），当B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，所以B（3，0），可证明△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，即可求Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），P（a，b）为抛物线上一动点，则有b＝a2﹣a+1因为P到直线l的距离等于PM，所以（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，可得+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，由a为任意值上述等式均成立，有，可求定点M的坐标．
【详解】解：（1）∵图象经过点C（0，1），
∴c＝1，
∵当x＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x＝2，
∴，解得：k＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），
∵AB＝，
∴（t﹣2）2+1＝2，
∴t＝1或t＝3，
∴B（1，0）或B（3，0），
∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，
∴B（3，0），
∴AC＝2，BC＝，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，
设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，
∴x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，
∴b＝a2﹣a+1，
∵P到直线l的距离等于PM，
∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，
∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，
∵a为任意值上述等式均成立，
∴，
∴，
此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，
∴定点M（2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键．
21、（1）见解析；（2）.
【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；
对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.
【详解】解：（1)证明：∵，
∴.
又∵为边上的中线，
∴.
∵，
∴，
∴.
(2)∵，∴.
在中，根据勾股定理，得.
由（1）得，∴，
即，
∴.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
221
【分析】根据正方形的性质得到AD=BC，AD∥BC，根据相似三角形的性质得到=2，于是得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADE∽△EBF，
∴＝，
∵E是BC边的中点，
∴BC＝AD＝2BE，
∴＝2，
∵△DEF的面积是1，
∴△DBE的面积为，
∵E是BC边的中点，
∴S△BCD＝2S△BDE＝3，
∴正方形ABCD的面积＝2S△BCD＝2×3＝1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
23、（1） ；（2）答案见解析，．
【分析1) 抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，即可求解;
(2)AC中垂线的表达式为：y=x，BC的中垂线为：x=，则圆心E为：（ , ）.
【详解】解：（1）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，
故点D（3，2），
故答案为：（3，2）；
（2）AB中垂线的表达式为：y=x，BC的中垂线为：x=，则圆心E为：（ , ）.作图如下：

【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，圆的基本性质，创新作图，求出圆心的坐标是解题的关键．
24、（1）；（2）在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，列出表格，然后利用概率公式求概率即可；
（2）先根据（1）中表格计算出两球数字之和的各种情况对应的概率，然后计算出摸球一次平均获得购书券金额，最后比较大小即可判断.
【详解】解：（1）列表如下：
第1球
第2球
1
2
3
4
1

2

3

4

由上表可知，共有12种等可能的结果.其中“两球数字之和等于7”有2种，
∴（获得90元购书券）.
（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下：
数字之和
3
4
5
6
7
获奖金额（元）
0
0
30
60
90
相应的概率

∴摸球一次平均获得购书券金额为
元
∵，
∴在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算.
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握用列表法和概率公式求概率是解决此题的关键.
25、1
【分析】由勾股定理求出AB=1，由旋转的性质得出BE=BC=6，即可得出答案．
【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，
∴AB＝＝10，
由旋转的性质得：BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26、（1）证明见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．
试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，
∴CF==2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．
考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.