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东北三三校一模测验(数学理科)

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2018年东北三省三校一模考试（数学理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分
1.复数的模为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )
A. B.2 C. D.
6.展开式中的常数项是( )
A. B. C.8 D.
7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )
A. B. C.1 D.3
8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( )
A. B. C. D.
9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( )
A.148 B.37 C.333 D.0
10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( )
A. B. C. D.
12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在中，，，，则______________.
14.若满足约束条件，则的最大值为______________.
15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；
③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.可以判断乙教的学科是______________.
16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：
①；②；③；④；
其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：
最低气温(℃)

天数
11
25
36
16
2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
(1) 求11月份这种电暖气每日需求量(单位：台)的分布列；
(2) 若公司销售部以每日销售利润(单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？

19.如图，四棱锥中，平面平面，且，底面为矩形，点、、分别为线段、、的中点，是上的一点，.直线与平面所成的角为.
(1)证明：平面；
(2)设，求二面角的余弦值.

20.已知椭圆过抛物线的焦点，，分别是椭圆的左、右焦点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与抛物线相切，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

21.已知函数，，.
(1)当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；
(2)设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中.
①求证：；
②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

22.已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

23.已知不等式.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求的范围.

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案
一．选择题：CABBA BDABD CA
二．填空题：
13.1 14. 15.C 16. ①③
三．解答题：
17. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）令，得，且，解得.
当时，，即，
整理得，，，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
.

18．（本题满分12分）
解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300
X的分布列为
X
100
200
300
P
0.2
0.4
0.4

（2） 由已知
①当订购200台时，
E((元)
② 当订购250台时，
E(
（元）
综上所求，当订购台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19．（本题满分12分）
.解：（Ⅰ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
方法一：因为，，所以，所以.
又，，所以，所以∽，
所以，所以.且，所以平面.
方法二：取中点，连接，交于点,连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
又因为，，所以，所以.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
设，，则，，，，
于是,.
所以，所以，且，所以平面
（Ⅱ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，

，.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
设，则，，
，，，
于是，，.
设平面的一个法向量为，则，
从而，令,得.
而平面的一个法向量为.
所以
20．（本题满分12分）
.解: （Ⅰ），又，.又，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线与抛物线相切于点，则，即，
联立直线与椭圆，消去，整理得.
由，得.
设，则：.
则

原点到直线的距离.

故面积，
当且仅当，即取等号，
故面积的最大值为1.
21．（本题满分12分）
解（Ⅰ）:当时：
由知：
依题意：对恒成立
设
当时；当时，
设
当时；当时，
故：实数k的取值范围是
（Ⅱ）由已知：，
①：由得：
由得：
故
，，，故：

②：由①知：，且
由得：，
设

在为减函数，
由得：

又
22.解：（本小题满分10分）
（Ⅰ）

的直角坐标方程为:

的普通方程为
（Ⅱ）将
得：

由的几何意义可得：
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）当时：不等式为:
等价于：:
解得：:
所以：不等式的解集为:
（Ⅱ）设函数=
设函数过定点（0，-1）
画出的图像，
（，6）
（，6）

（0，-1）

由数形结合得的范围是