解析几何中档小题(求离心率类).doc

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解析几何中档小题（求离心率类） 5/12/2015
１．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
２．如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）

A． B． C． D．
３．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为     .

４．

５．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线与双曲线C1共焦点，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|=|PF1|，则双曲线的离心率为    ．
６．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，PF1⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
７．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是　　　　　( 　　 )
A． B． C． D．
８． 在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若=2，则双曲线的离心率为  　　　　  ．
９．P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）
A．　　　　B．　　　C．　　　　　　D．
10.如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=    ．
11.已知双曲线C的方程为，它的左、右焦点分别F1，F2，左右顶点为A1，A2，过焦点F2先做其渐近线的垂线，垂足为p，再作与x轴垂直的直线与曲线C交于点Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差数列，则离心率e=　　　　　　　　　（ 　　）
A．　　　B．　　　　C．或　　　　D．
12.已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个 不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 （ 　　）　
    A．           B．      C．        D．

13.已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ 　　）
A.                                 B.                    C.                       D.
14.如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( )
A． B． C． D．
15.双曲线C的方程为－=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若=λ，且λ∈（，），则双曲线的离心率的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　 ）
A．（1，] B．（，） C．（，） D．（，+∞）

解析几何中档小题（求离心率类） 5/12/2015
参考答案
１．
２．【解析】由题意知 ，把A代入椭圆 ，得 ，∴（a2-c2）c2+3a2c2=4a2（a2-c2），整理，得e4-8e2+4=0，∴，∵0＜e＜1，∴．故选D．
３．【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.

４．

５． 【解析】设点P（x，y），F2（c，0），过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|-2a，由抛物线的定义可得|PA|=x+c=2c-2a，∴x=c-2a,在直角△F1AP中，，∴ ∴8ac-4a2=4c（c-2a） ∴c2-4ac+a2=0 ∴e2-4e+1=0，∵e＞1 ∴e= 故答案为：
６． 【解析】连接OA，PF1，则OA⊥PQ，又PF1⊥PQ，可得OA∥PF1
因为A为线段PQ的靠近P的三等分点，所以A为线段PF2的中点，
于是PF1=2b．结合椭圆的定义有PF2=2a-2b，在直角三角形PF1F2中，利用勾股定理得（2a-2b）2+（2b）2=（2c）2，将c2=a2-b2代入，
整理可得b=a，于是e====．故选C．
７． 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因 　
８． 【解析】如图因为=2，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴，e2=4⇒e=2．故答案为：2．
９．【解析】设||=m，||=n，由题意得，∵=0，且△F1PF2的面积是9，∴mn=9，得mn=18，∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m-n）2=m2+n2-2mn=4c2-36，结合双曲线定义，得（m-n）2=4a2，
∴4c2-36=4a2，化简整理得c2-a2=9，即b2=9可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c==5∴该双曲线的离心率为e==，故选：B
10. 【解析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2-a2）c2=（2c2-a2）a2，∴c4-3a2c2+a4=0，∴e4-3e2+1=0∵e＞1，∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴，∵m2+n2=a2，∴，，∴面积S2=4mn=，∴==，∵bc=a2=c2-b2，∴，∴=，故答案为：，

11. 【解析】由题设知双曲线C的方程为的一条渐近线方程l：y=，∵右焦点F（c，0），∴F2P⊥l，∴|F2P|==b，∵
|F2Q|⊥x轴，，解得|F2Q|=，∴|QF1|=2a-，∵|A1A2|=2a，PF2，A1A2，QF1依次成等差数列，∴b，2a，2a-依次成等差数列，∴4a=b+2a+，∴2=+，即，解得e=．故选A．
12. 【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称。不妨设在第一象限，，当时，，即，解得，又因为，所以；当时，，即且，解得，即。综上可得或。故D正确。
13. 【解析】由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，= =+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.设P（x0，y0） （x0≤-a）
由焦半径公式得：|PF1|=-ex0-a=2a, ex0=-2a, e=≤3, 又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]．故选C．
14. 【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，
令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝．【答案】B
15.【解析】由题意得l1：y=-，l2：y=，l：y=，由l交双曲线C于R，令，解此方程组得R（），故有=（）
由l交l1于M，令解此方程组得M（），故有=（-），由=λ，得（）=λ（-），所以，整理得a2=（1-λ）c2，即e2=,又λ∈（，），∴e2∈（2，3），即e∈（，）故选B

如图，从双曲线的左焦点F1引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|F1t|=    ；|MO|-|MT|=    ．
【解析】从双曲线得：a=3，b=5．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b=5．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点∴OM=PF2，
∴|MO|-|MT|=|PF2|-（|PF1|-|F1T|）=（|PF2|-|PF1|）+5=5-a=2．故答案为：5，2

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