数学手册第二章初等几何图形的计算与作图1.doc

第二章 初等几何图形的计算与作图

几何图形是从现实世界中抽象出来的，所以，几何图形的理论、计算与作图广泛应用与人们的社会实践中。
本章重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形;另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.
另外,还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明。同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.

§1 三角形与四边形

一、 三角形各元素的计算

1。 三角形各元素
图 2。1 图 2.2
a,b，c为三角形三边 R为外接圆半径
A,B，C为三个角 r为内切圆半径
AD为a边上的高 H为垂心(三条高的交点）
AF为A角的平分线 G为重心（三条中线的交点）
AE为a边上的中线 为内心(三条角平分线的交点）
为半周长 为外心三条垂直平分线的交点)
S为的面积

2。 三角形各元素计算公式
［高］

[中线］

［角分线］

［面积]

［外接圆半径］

［内切圆半径]

二、 三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式

图形
面积S、几何重心G与转动惯量＊J

长度 L=a
重心 GA=GB=
转动惯量
(a) 转轴平行于细杆，到细杆距离
为h(图(a))

(b) 转轴通过细杆重心G，且与细杆
垂直（图（b))

(c) 转轴通过细杆的一个端点，且与细
杆垂直(图（c ））

表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，
§3，五。

图形
面积S、几何重心G与转动惯量J
［任意三角形]

a,b,c为三边，为a边上的高

[等腰三角形]

b为两腰,a为底边，为a边上高
重心

转动惯量
(a)转轴通过重心G，且与a边平行
（图（a)）

(b)转轴与三角形一边a重合(图（b))

(c)转轴通过三角形一顶点A，且平行于a边（图（c ))

重心
转动惯量
转轴与底边上的高重合

当a=b时

图形
面积S、几何重心G与转动惯量J

a,b为邻边，d为对角线, 为对角线的夹角

a为边长，为顶角，为两对角线
面积
重心 G在对角线的交点上,即
转动惯量
（a）转轴通过矩形中心,且垂直于矩形所在平面(图(a)）

（b）转轴通过矩形中心，且与矩形的b边平行（图（b))

(c）转轴与矩形的b边重合（图（c））

面积
重心G在对角线交点上,即
转动惯量
(a)转轴与对角线重合(图(a)）

（b)转轴通过重心G且垂直于图形所在平面（图(b））

图形
面积S、几何重心G与转动惯量J

a,b为邻边，h为对边距,为顶角,为两对角线，为两对角线夹角

a,b为上下底，h为高,l为两腰中点连线

a，b,c,d为四边长，为两对角线,为两对角线夹角
面积

重心 G在对角线交点上

面积
重心

转动惯量
转轴通过重心,且平行于上下底
（图（a)）

当a=b时（平行四边形）

面积

或