内蒙古呼和浩特准格尔旗世纪中学2017届高三第三次月考数学试卷.doc

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2016—2017学年内蒙古呼和浩特准格尔旗世纪中学高三（上）第三次月考数学试卷（文科）

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．
1．已知集合M=｛1，2｝，N=｛b｜b=2a﹣1，a∈M｝，则M∪N=（　　）
A．{1} B．｛1，2｝ C．｛1，2,3} D．∅
2．复数（i是虚数单位）的实部是（　　)
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
3．若a=20。1，b=logπ3，c=log2sin,则（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0,π］）为增函数的区间是（　　）
A．［0，] B．[，］ C．[，] D．[，π］
5．已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
6．已知向量、不共线，，如果，那么(　　）
A．k=1且与同向 B．k=1且与反向
C．k=﹣1且与同向 D．k=﹣1且与反向
7．已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（｜x｜+1）的图象大致是（　　)
A． B． C． D．
8．函数f（x）=sin（ωx+φ）(x∈R）(ω＞0,｜φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2)，则f（x1+x2）=（　　)

A． B． C． D．1
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（　　）
A．54 B．48 C．32 D．16
10．设函数f(x）=cosωx(ω＞0)，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）
A． B．2 C．8 D．12
11．下列命题中：
①在△ABC中，若cosA＜cosB，则A＞B;
②若函数f(x）的导数为f’（x），f（x0）为f（x)的极值的充要条件是f’（x0）=0；
③函数y=|tan（2x+)｜的最小正周期为;
④同一直角坐标系中，函数f(x）=sinx的图象与函数f（x)=x的图象仅有三个公共点．
其中真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知函数f（x）是（﹣∞,+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2)=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2(x+1)，则f(﹣2009）+f
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1

二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知f（x）为奇函数，g(x)=f（x）+9,g（﹣2）=3，则f（2）=　　．
14．在△ABC中，已知，则角B=　　．
15．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，则的值为　　．
16．已知f（x）=x2,g（x）=（)x﹣m,若对任意x1∈[﹣1，3］，总存x2∈[0，2],在使得f（x1）≥g(x2）成立，则实数m的取值范围是　　．

三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x)在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
18．已知等比数列｛an}中,．
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an｝的前n项的和Sn．
19．在锐角△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为ab,c且，若c2=a2+b2﹣ab
（1）求角A、B、C的大小
（2）若边c=6,求边b的值．
20．等比数列{an｝的各项均为正数,且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列｛an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{｝的前n项和．
21．已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．
（1）若x=1为f(x）的极值点，求a的值;
（2）若y=f(x）的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为x+y﹣3=0,求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f(x）在区间(﹣1，1）上不单调,求a的取值范围．

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲］
22．选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系中，已知圆心,半径r=1
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于A,B两点，求AB的中点C与点P(﹣1,0）的距离．

2016-2017学年内蒙古准格尔旗世纪中学高三(上）第三次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知集合M=｛1，2｝，N={b|b=2a﹣1，a∈M}，则M∪N=(　　）
A．｛1｝ B．{1,2} C．｛1,2，3｝ D．∅
【考点】并集及其运算．
分析】由题设条件先分别求出集合M和N,再由集合的运算法则求出M∪N．
【解答】解：∵集合M=｛1，2｝,N=｛b｜b=2a﹣1，a∈M}=｛1，3｝，
∴M∪N=｛1，2,3｝．
故选C．

2．复数（i是虚数单位)的实部是（　　)
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．
【解答】解：由=，
得复数（i是虚数单位)的实部是：．
故选：D．

3．若a=20.1，b=logπ3，c=log2sin,则(　　)
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】与1，0比较,即可比较出大小．
【解答】解：∵a=20.1＞1，0＜b=logπ3＜logππ=1，0＜sin＜1，则c=log2sin＜0，
∴a＞b＞c,
故选B

4．函数y=2sin(﹣2x)，（x∈[0，π]）为增函数的区间是(　　）
A．［0，] B．[，］ C．［，] D．[,π］
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】化简函数y=2sin（﹣2x),利用正弦函数的图象与性质，求出y在x∈[0,π]的增区间即可．
【解答】解：∵y=2sin(﹣2x）=﹣2sin（2x﹣）,
∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，
∵y=sinx的减区间为［2kπ+，2kπ+］，
∴令2x﹣∈［2kπ+，2kπ+]，
解得x∈[kπ+，kπ+]，
又x∈［0，π],
∴x∈[，］．
故选：C．

5．已知数列｛an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【考点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数．
【分析】因为a1+a7+a13=4π，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．
【解答】解:∵a1+a7+a13=4π，
则a7=,
∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=﹣，
故选A．

6．已知向量、不共线，，如果，那么（　　）
A．k=1且与同向 B．k=1且与反向
C．k=﹣1且与同向 D．k=﹣1且与反向
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平行向量与共线向量．
【分析】由题意可得：，（λ为实数），即（k﹣λ)+（1+λ）=，由对应系数相等可得λ，k的值,进而可得向量反向．
【解答】解:由题意可得:，(λ为实数),
即(k﹣λ）+(1+λ）=，
∵向量、不共线,∴，
解得k=λ=﹣1，故=﹣，即反向
故选D

7．已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x｜+1）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．
【分析】先导出再由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．
【解答】解：
由函数f（x)=logax是增函数知，a＞1．
故选B．

8．函数f（x)=sin(ωx+φ）（x∈R）(ω＞0，｜φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1)=f(x2），则f（x1+x2）=（　　）

A． B． C． D．1
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．
【分析】通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f(x1+x2）即可．
【解答】解：由图知，T=2×=π，
∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）
∵，所以ϕ=，
∴,,
所以．
故选C．

9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（　　）
A．54 B．48 C．32 D．16
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据题意和等比数列的片段和性质得:S5、S10﹣S5、S15﹣S10、S20﹣S15…成首项是2、公比也是2等比数列,由等比数列的通项公式求出S20﹣S15的值，即可得答案．
【解答】解：由题意得S5=2，S10=6，S10﹣S5=4，
因为等比数列中S5、S10﹣S5、S15﹣S10、S20﹣S15…成等比数列,
所以此等比数列的首项是2、公比也是2，
则S20﹣S15=2×8=16,即a16+a17+a18+a19+a20=16，
故选：D．

10．设函数f（x)=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于（　　）
A． B．2 C．8 D．12
【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．
【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，
所以=k•，k∈Z．令k=1，可得ω=8．
故选：C．

11．下列命题中：
①在△ABC中，若cosA＜cosB，则A＞B；
②若函数f(x）的导数为f’（x），f（x0）为f（x）的极值的充要条件是f'（x0)=0；
③函数y=｜tan（2x+）｜的最小正周期为；
④同一直角坐标系中，函数f（x）=sinx的图象与函数f（x)=x的图象仅有三个公共点．
其中真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据余弦函数在0度到180度上的单调性即可判断得到答案．
②根据导数值为0，函数不一定取极值，但函数在极值点的导数值一定为0，可以判断真假；
③由函数y=｜tan(ωx+）|（ω＞0）的最小正周期为,可判定函数y=|tan(2x+）|的最小正周期；
④由x∈(0,）时，x＞sinx可判断．
【解答】解：对于①：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度,而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，故正确；
对于②，若函数f（x）的导数为f′（x），f(x0）为f（x）的极值的必要条件是f′(x0)=0，故②错误；
③由函数y=|tan（ωx+）|（ω＞0）的最小正周期为可判定函数y=｜tan(2x+）｜的最小正周期为，故正确；
④，由x∈(0,）时,x＞sinx，∴同一直角坐标系中，函数f(x）=sinx的图象与函数f（x）=x的图象仅有1个公共点，故错．
故选：C

12．已知函数f（x）是（﹣∞,+∞）上的偶函数，若对于x≥0,都有f(x+2）=f(x），且当x∈［0，2）时，f(x)=log2（x+1),则f（﹣2009）+f
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质;对数的运算性质．
【分析】由偶函数的性质及函数的周期性将f(﹣2009）+f时上的函数值表示出来，代入解析式求出值
【解答】解：∵数f(x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，且对于x≥0，都有f(x+2）=f（x）,
∴f（﹣2009)+f+f+f（0）
又当x∈[0，2)时，f(x）=log2（x+1)，
∴f（﹣2009）+f+f（0)=log2（1）+log2（1+1）=1，
故选D．

二．填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分。
13．已知f（x)为奇函数，g(x）=f(x）+9,g（﹣2）=3,则f（2）=　6　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】将等式中的x用2代替;利用奇函数的定义及g（﹣2）=3,求出f(2）的值．
【解答】解：∵g（﹣2）=f(﹣2）+9
∵f（x）为奇函数

∴f（﹣2）=﹣f（2）
∴g(﹣2)=﹣f（2）+9
∵g（﹣2）=3
所以f（2)=6
故答案为6

14．在△ABC中,已知，则角B=　　．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出 sinA,再根据A﹣B的范围求出 cos(A﹣B) 和 sin（A﹣B）的值,由 cosB=cos［A﹣（A﹣B）]，利用两角和差的余弦公式求得结果．
【解答】解：在△ABC中，
∵A∈（0,）,cosA=，∴sinA=，
又 B＜A＜，∴0＜A﹣B＜，
∵cos（A﹣B）=，∴sin（A﹣B）=．
∴cosB=cos［A﹣（A﹣B）]=cosAcos（A﹣B）+sinAsin（A﹣B）=．
∵B∈（0，)，
∴B=．
故答案为：

15．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，则的值为　　．
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理和三角函数的平方关系,即可求出的值．
【解答】解：△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a,
根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，
可得sinB(sin2A+cos2A)=sinA，
∵sin2A+cos2A=1,
∴sinB=sinA，得b=a,
可得=．
故答案为：．

16．已知f（x)=x2，g（x）=(）x﹣m，若对任意x1∈［﹣1,3］，总存x2∈［0，2］，在使得f（x1)≥g(x2）成立，则实数m的取值范围是　m≥　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】对于任意的x1，总存在x2使f（x1）≥g(x2）成立,转化为f(x）min≥g（x）min，从而问题得解．
【解答】解:对任意x1∈[﹣1，3]，存在x2∈［0，2］,使得f（x1)≥g（x2)成立，
只需f（x）min≥g（x)min,
当x1∈[﹣1，3]时,f(x）=x2∈［0，9]，即f(x）min=0；
当x2∈［0，2］时,g（x）=(）x﹣m∈［﹣m，1﹣m］，
∴g（x）min=﹣m；
∴0≥﹣m,
解得m≥．
故答案为：m≥．

三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知f（x)=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ)求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x)在区间［﹣,]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数;三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．
【解答】解：（Ⅰ)∵，
=4cosx（）﹣1
=sin2x+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
所以函数的最小正周期为π;

（Ⅱ）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x+≤，
∴当2x+=,即x=时，f（x）取最大值2,
当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．

18．已知等比数列｛an}中,．
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ）求数列｛（2n﹣1）•an｝的前n项的和Sn．
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式．
【分析】(Ⅰ）利用等比数列的通项公式，建立方程组，即可求数列{an｝的通项公式；
(Ⅱ）利用错位相减法，即可求数列的前n项的和．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=10,a4+a6=80,
∴,∴q=2，…
又，∴a1=2
∴…
（Ⅱ)①
∴②
①﹣②得﹣
==2﹣8+2•2n+1﹣(2n﹣1）2n+1=﹣6﹣(2n﹣3）2n+1
∴Sn=（2n﹣3)2n+1+6…

19．在锐角△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，若c2=a2+b2﹣ab
(1）求角A、B、C的大小
（2）若边c=6，求边b的值．
【考点】余弦定理;正弦定理．
【分析】(1）利用差角的正切公式，结合余弦定理，即可求角A、B、C的大小；
(2）利用正弦定理,可求边b的值．
【解答】解:（1）由得，∴
又c2=a2+b2﹣ab，∴
∵0＜C＜π，∴,
∴，又由上解知
联立解得
（2）c=6,由正弦定理得

20．等比数列｛an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列｛an}的通项公式；
（Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{｝的前n项和．
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把(Ⅰ）求出数列｛an｝的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列｛｝的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an｝的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{an}的通项式为an=．

（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n)=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[(1﹣）+(﹣）+…+（﹣)]=﹣，
所以数列{｝的前n项和为﹣．

21．已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1)x+b（a,b∈R）．
(1）若x=1为f（x)的极值点,求a的值;
（2)若y=f（x)的图象在点（1，f（1)）处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x)在区间［﹣2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时,若f（x）在区间（﹣1，1)上不单调,求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
【分析】(1)先求导数，再根据x=1是f(x）的极值点得到:“f′（1）=0”，从而求得a值；
（2）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．
(3）由题意得:函数f（x)在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x)在(﹣1,1)上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1)f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）f′(x）=x2﹣2ax+a2﹣1
∵x=1是f（x）的极值点,
∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；
（2)∵（1，f（1))在x+y﹣3=0上．∴f（1)=2
∵（1,2）在y=f(x）上，∴又f′(1)=﹣1，
∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0，
解得∴
由f′（x）=0可知x=0和x=2是极值点．
∵
∴f（x）在区间［﹣2，4]上的最大值为8．
(3）因为函数f(x）在区间（﹣1,1)不单调，
所以函数f′（x）在（﹣1，1)上存在零点．
而f′(x）=0的两根为a﹣1，a+1，区间长为2，
∴在区间（﹣1，1）上不可能有2个零点．
所以f′（﹣1）f′(1）＜0,∵a2＞0，
∴（a+2）（a﹣2）＜0,﹣2＜a＜2．
又∵a≠0，∴a∈（﹣2，0）∪（0，2）．

［选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22．选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系中，已知圆心，半径r=1
（1）求圆的极坐标方程;
(2)若直线与圆交于A，B两点,求AB的中点C与点P（﹣1，0)的距离．
【考点】简单曲线的极坐标方程；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．
【分析】(1）先写出圆的普通方程，再利用极坐标与普通方程的互化公式即可得出答案．
（2)易知点P（﹣1，0)在直线上，把直线的方程代入圆的方程，得到关于t的一元二次方程，则AB的中点C与点P（﹣1，0）的距离是，求出即可．
【解答】解：（1)由已知极坐标圆心，得直角坐标系下的圆心，半径1,
∴圆的方程为,
即,
所以极坐标方程为．
(2)把直线方程代入圆方程得，
设t1，t2是方程两根，∴．
所以．

2017年2月8日