2019-2020海淀区高三年级第一学期期中练习(评标版).doc

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案
数 学 2019.11
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
B
B
A
A
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
题号
9
10
11
12
13
14
答案
6
1
0；1
3

；
说明:第11，14题第一空3分，第二空2分
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15．解：（Ⅰ）在等比数列中，设公比为q.
因为，，
所以 ------------------------2分
所以. 即
则或 ------------------------4分
因为
所以
所以. ------------------------5分
因为
所以 ------------------------6分
所以数列的通项公式 . ------------------------8分
（Ⅱ）在等比数列中，
因为， ------------------------10分
所以 ------------------------11分
因为，
所以
所以.
所以 ------------------------12分
因为,
所以. 即n的最大值为4. ------------------------13分
16.解：（Ⅰ）因为
-------------------------1分

-------------------------2分
--------------6分
. --------------------------7分
所以的最小正周期为. ------------------------9分
（Ⅱ）“对恒成立”等价于 “”. -------------10分
因为，
所以. -------------------------11分
当，即时，
的最大值为. -------12分
所以，
所以实数的取值范围为. ------------------------13分
17．解：（Ⅰ）， -------------------------2分
因为在点处的切线方程为，
所以 ------------------------4分
解得 --------------6分
（Ⅱ），
① 当时，不存在极大值，不符合题意. ----------------------7分
②当时，.
令.
（i）当，即时，不符合题意. ------------------------8分
（ii）当，即时，方程有两个不相等的实数根.
设方程两个根为，，且.
，，的变化如表所示：

0

0

极大值

极小值

所以为极大值. ------------------------10分
③当时，恒成立. 设方程两个根为，，且.
，，的变化如表所示：

0

0

极小值

极大值

所以为极大值. ------------------------12分
综上，若函数存在极大值，的取值范围为. ---------------13分

18．解：（Ⅰ）在中，，，，
根据余弦定理 ------------------------2分
所以. --3分
因为， ------------------------4分
所以 ------------------------5分
. ------------------------6分
（Ⅱ）①在中，
根据正弦定理，得. ------------------------8分
. ------------------------10分
因为点为射线上一动点，
所以. ------------------------11分
所以的取值范围为. ------------------------12分
②答案不唯一.取值在区间上均正确. ------------------------13分
19．（Ⅰ）函数在区间上是单调递增函数. --1分
理由如下：
由，得. ------------------------3分
因为
所以.
因此.
又因为，
所以恒成立. ------------------------5分
所以在区间上是单调递增函数.
（Ⅱ）由题意可得，. ------------------------6分
因为
令 则.
所以在上单调递减. ------------------------7分
因为，
所以存在唯一实数，使得，其中. ------------------------9分

0

极大值

，，的变化如表所示：

所以为函数的极大值.
因为函数在有唯一的极大值.
所以. ------------------------11分
因为， ------------------------12分
所以.
因为，
所以. ------------------------14分
所以.
20.解：（Ⅰ）是“关联的”，关联子集有，，，
是“独立的”. ------------------------4分
（Ⅱ）记集合的含有四个元素的集合分别为:
，，，，
.
所以，至多有5个“关联子集”.
若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则;
同理可得若为“关联子集”，则，不是“关联子集”.
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以一定不是“关联子集”.
同理一定不是“关联子集”. ------------------------6分
所以集合的“关联子集”至多为，，.
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾;
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾;
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以，，都是“关联子集”. ------------------------8分
所以有，即;
，即;
，即,
所以.
所以是等差数列. ------------------------10分
（Ⅲ）不妨设集合（），，，,，且.记.
因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.
假设结论错误，即不存在，使得.
所以任取，.因为，所以.
所以.
所以任取，.
任取，,
所以，且中含有个元素.
（i）若，则必有成立.
因为，所以一定有成立.所以.
所以.
所以.所以.
因为，所以，所以有，矛盾.
（ii）若，则.
而中含有个元素,所以.
所以，.
因为，所以.
因为，所以.
所以.
所以，矛盾.
所以命题成立. ------------------------14分

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