曲线与方程教案.doc

§2.1.1曲线与方程
◆优效预习
（一）学习目标
（1）理解方程的曲线，曲线的方程的概念；
（2）会判断一个点是否在已知曲线上.
（二）重点难点：
重点：曲线的方程，方程的曲线的概念；
难点：理解方程的曲线，曲线的方程的概念.
（三）自主预习：
1、曲线与方程的关系：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程之间，如果具有以下两个关系：
(1) 曲线上的点的坐标，都是 的解；
(2) 2．以方程的解为坐标的点，都是 的点，
那么，方程叫做这条曲线的方程；
曲线叫做这个方程的曲线．

注意：1、 如果……，那么……；
2、“点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3、曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4、曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
2、根据已知条件，求出表示曲线的方程．

◆高效课堂
◎典例精析
例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．

变式：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？

例3、设两点的坐标分别是，，求线段的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是，，．中线（为原点）所在直线的方程是吗？为什么？

◎随堂练习
1. 与曲线相同的曲线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．，，线段的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知方程的曲线经过点和点，则= ，= ．
4．已知两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 ．
5.点P(1.a)在曲线x2 +2xy-5y=0上，则a= .

§2.1.1曲线与方程
—增效作业
◆基础巩固
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是(　　)
A．y2＝x与y＝
B．y＝lgx2与y＝2lgx
C.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
2．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(　　)
A．(1,1)　　　　B．(－1，－1)
C．(1,1).(－1，－1) D．(0,0)
3方程x2＋xy＝x表示的曲线是(　　)
A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
4列命题正确的是(　　)
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线的方程是＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是 ＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是＝0
5.点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)，则在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上的点有________．
6.程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
7.线x2＋y2＋2Dx＋2Ey＋F＝0与x轴的两个交点位于原点两侧，则D，E，F满足的条件是________．
8.程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N(，n)均在曲线C上，则_________________．
9.方程表示的曲线经过点和点，求、的值．

◆能力提升
10 曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，求k的取值范围．若有一个交点呢？无交点呢？ 

11若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．

§2.1.2求曲线的方程
◆优效预习
（一）学习目标
（1）求曲线的方程
（2）通过曲线的方程求曲线的性质。
（二）重点难点：
重点：研究曲线的性质。
难点：求曲线的方程的一般步骤与方法。
（三）自主预习：
复习1：已知曲线C的方程为 ，曲线上有点，的坐标是不是 的解？点在曲线上,则=___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程之间有哪些关系?

新知：1．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出 ；
(2)通过曲线的方程， ．
2．求曲线的方程的步骤
(1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M 的坐标
(2)写出适合条件p的点M 的集合 ；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 ；
(4)化方程f(x，y)＝0为 ；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
思考：求曲线方程的步骤是否可以省略？
◆高效课堂
◎典例精析
例1 有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到的距离的倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在轴的下方，曲线上的每一点到轴的距离减去这点到点，的距离的差是，求曲线的方程．

小结：点到轴的距离是 ；
点到轴的距离是 ；
点到直线的距离是 ．

例2 、已知一条直线和它上方的一个点，点到的距离是，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到的距离减去到的距离的差都是，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程

例3、有一曲线,曲线上的每一点到轴的距离等于这点到直线的距离的倍，试求曲线的方程．

例4、曲线上的任意一点到,两点距离的平方和为常数
,求曲线的方程．

小结：
1．如何理解求曲线方程的步骤
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．
(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.
(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”．
(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．
2．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
3．要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．

知识拓展：圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线．
：椭圆；
： 抛物线；
： 双曲线．

◎随堂练习
1．方程的曲线经过点，，，中的（ ）.
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知，，动点满足,则
的轨迹方程是（ ）.
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的交点个数一定是（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若定点与动点满足,则点的轨迹方程是 ．
5．由方程确定的曲线所围成的图形的面积是 ．
6．以O为圆心，为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

7、已知点的坐标是，过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点．设点是线段的中点，求点的轨迹方程．

§2.1.2求曲线的方程
—增效作业
◆基础巩固
1．若动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
2．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是(　　)
A．x＋y＝5　　　　　　 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
3．若点M到x轴的距离和它到直线y＝8的距离相等，则点M的轨迹方程是________．
4．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是________．
5．一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1
6．已知A(－1,0).B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
7．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为________．
9．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|.|PB|.|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程．

◆能力提升
10、已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求点B的轨迹方程．

11、已知△ABC 的两顶点A、B 的坐标分别为A(0,0).B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．

12、已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程．
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