南充高中《三角形的证明》培优提高7.doc

《三角形的证明》培优提高（四）（教师版）
一、 选择题：
1、等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是（ ）
A．30° B．100°或40° C．40° D．80°
2、（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　C）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8

（2题） （3题） （4题） （5题）

3、（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　D　）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　C　）

A．
20
B．
12
C．
14
D．
13
5、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
6、（2013•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（　　）
A． B． C． D．
7、（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　
A．20 B．12 C．14 D．13

（7题） （8题） （10题）
8、（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
分析：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16∴DE=BE+CD-BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．
9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
10、如图，在△ABC中，∠A＝Rt∠，D是AB上一点，且DB=DC， 过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD： DB＝1：3，BC=，则PE+PF的长是（ ）
（A） （B） 6 （C） （D）
二、填空题：
1、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A= .
A
B
C
D
E

（ 1题） （ 5题） （6题）
2、已知：△ABC中，AB=AC，BD是AC上的高，且∠CBD=35°，则∠A= .
3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8厘米，BC的垂直平分线DE交AB于D，则CD=
4、△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=10厘米，则AC .
5、（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= 2
．
6、（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是 2
．
7、（河北）在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB＝ 。
8、如图，已知AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，点C是MN上使AC＋ BC的值最小的点，若AM=3，BN＝5，MN＝15，则 AC＋BC=
9、（2013•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35
°．

（9题） （10题） （11题） （12题）
10、（2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70°
．
11、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
12、（2013•无锡）如图，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45
°．
13、（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 108
度．

（13题） （14题）
14、如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝______.（根号3）

三 、解答题：
1、（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．

解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，
∵BD⊥DE，∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC；
（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴BD===．
2、（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．

3、（2012•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．

解：过点F作FM⊥AD于M，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，
∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，
∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，
∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．

4、（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
5、如图，在△MNP中，∠MNP＝45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN＝PM，（2001年黄冈市中考题）

证明：如图：∵MQ⊥PN，∠MNP＝45°，∴∠QMN＝45°∴∠MNP＝∠QMN，∴QM＝QN。
∵∠1＝∠2，在Rt△HQN和Rt△PQM中。∵∠2＝∠1，QN＝QM，∠HQN＝∠PQM．
∴Rt△HQN≌Rt△PQM，∴HN＝PM．
6、如图BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，N是DE的中点，求证：MN⊥DE．

证明：如图：连接ME、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=BC，又NE＝ND，∴直线MN是线段DE的垂直平分线，∴NM⊥DE．
7、．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AC的中点，过 D作 AC的垂线交 BC于 E点，已知，∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数．
分析：∵M是Rt△BCD斜边上的中点 ∴DM=1/2BC
又∵M是Rt△BCE斜边上的中点 ∴EM=1/2BC ∴DM=EM
∴△DEM为等腰三角形
∵N为底边DE的中点 ∴ MN⊥DE
8、如图，已知点D是等边△ABC边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，过D作BC的垂线．垂足为M，求证：M为BE的中点．

分析：∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=∠ABC=60°
∵CD=CE，∠DCE=180°-∠ACB=180°-60°=120°
∴∠E=(180°-∠DCE)/2=(180°-120°)/2=30°
∵D是AC中点∴BD是∠ABC平分线∴∠DBC=∠DBE=1/2∠ABC=30°∴∠E=∠DBE
∴△BDE是等腰三角形
∵DM⊥BE∴BM=EM(等腰三角形底边上的高，中线合一）
9、如图，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点P，则 P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD＋PE＝CF．若P点在BC的延长线上，那么PD、PE和CF之间存在什么关系？写出你的猜想并加以证明。

10、（2013•永州）
解：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）。∴BN=DN。
（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB。
又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线。
∴CD=2MN=6。
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。

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