湖北名师联盟2022年高一上数学期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知集合，则（）
A. B.
C. D.R
2．已知，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数在定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知为角终边上一点，则（）
A. B.1

C.2 D.3
5．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为
A.0.1 B.0.01
C.0.001 D.0.0001
6．已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则
A. B.
C. D.
7．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（）
A. B.
C. D.
8．在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是
A. B.
C. D.

9． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）
A. B.
C. D.
10．下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A与 B.与
C.与 D.与
11．方程的解所在的区间是
A. B.
C. D.
12．命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（）
A.∀x∈N，x3≤x2 B.∃x∈N，x3＞x2
C.∃x∈N，x3＜x2 D.∃x∈N，x3≤x2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若实数x，y满足，则的最小值为___________
14．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________
15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________.
16．已知，，，则的最大值为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为
（1）试将表示成的函数；
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象

18．如图，正方形ABCD所在平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）若正方形ABCD边长为1，求四棱锥M﹣ABCD体积的最大值
19．（1）求值：；
（2）已知，化简求值：
20．已知函数.
（1）求、、的值；
（2）若，求a的值.
21．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1
（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；
（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围
22．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且
（1）求的解析式；
（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
2、B
【解析】利用诱导公式由求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B
3、D
【解析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，，是偶函数，不满足题意
对于B，是奇函数，但不是减函数，不满足题意
对于C，，是奇函数，
因为是增函数，是减函数，所以是增函数，不满足题意
对于D，是奇函数且是减函数，满足题意
故选：D
4、B
【解析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.
【详解】为角终边上一点，故，故.
故选：B
5、B
【解析】令，则用计算器作出的对应值表：

由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.
6、A
【解析】依题意有.
7、B
【解析】根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.
【详解】由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.
故选：B.
8、C
【解析】连接为异面直线与所成角，几何体是长方体，是，，异面直线与所成角的大小是,故选C.
9、B
【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.
【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
故选：B
【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.
10、D
【解析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错；
B选项，定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错；
C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故C错；
D选项，与的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.
故选：D.
11、C
【解析】根据零点存在性定理判定即可.
【详解】设
根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.
12、D
【解析】根据含有一个量词命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以¬p：∃x∈N，x3≤x2
故选：D
【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）

故答案为：
14、
【解析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，
因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.
因为，所以，
在直三棱柱中， 侧面是矩形且它的中心即为球心O，
球的直径是的长，则，
所以球的半径为
故答案为：

【点睛】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.
15、 (0,1)
【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围
【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0，
得m＝f（x）
作出y＝f（x）与y＝m的图象，
要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，
则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为（0，1）

【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视
16、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1），（，）
（2）答案见解析
【解析】（1）结合对数运算的知识求得.
（2）根据的解析式写出的性质，并画出图象.
【小问1详解】
依题意因为，，
两边取以为底的对数得，
所以将y表示为x的函数，则，（，），
即，（，）；
【小问2详解】
函数性质：
函数的定义域为，
函数值域，
函数是非奇非偶函数，
函数的在上单调递减，在上单调递减
函数的图象：

18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)先证明BC⊥平面CMD,推出DM⊥BC,然后证明DM⊥平面BMC,由线面垂直推出面面垂直;
(2) 当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大,相应数值代入棱锥的体积公式即可得解.
【详解】（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，
∵BC⊥CD，BC在平面ABCD内，
∴BC⊥平面CMD，
故DM⊥BC，
又DM⊥CM，BC∩CM＝C，
∴DM⊥平面BMC，
又DM在平面AMD内，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）依题意，当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大，
因为正方形边长为1，所以半圆的半径为，
此时四棱锥M﹣ABCD的体积为，故四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为
【点睛】本题考查面面垂直的证明,需转化为证明线面垂直,考查棱锥的体积计算,属于中档题.
19、（1）；（2）
【解析】（1）由指数和对数的运算公式直接化简可得；
（2）利用诱导公式化简目标式，然后分子分母同时除以，将已知代入可得.
【详解】（1）原式

（2）原式，
∵，∴原式
20、（1），，；（2）5.
【解析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果；
（2）按照三种情况，，，选择相应的解析式代入解方程可得结果.
【详解】（1），，，
则；
（2）当时，，解得（舍），
当时，，则（舍），
当时，，则，
所以a的值为5.
【点睛】方法点睛：（1）计算分段函数函数值时，要根据自变量的不同取值范围选取相应的解析式计算.；（2）已知函数值求自变量的值时，要根据自变量的不同取值范围进行分类讨论，从而正确求出自变量的值.
21、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）{a|1＜a≤2},
【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；
（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.
【小问1详解】
∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，
∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x | x＞0}，A∩B＝{x |2＜x＜4}；
【小问2详解】
当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，
因为C⊆B，所以，解得－1≤ a ≤2，
因为a ＞1，此时1＜a ≤2，
当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，
综上，a 的取值范围为{a|1＜a≤2}
22、（1）;（2）综上或
【解析】（1）利用奇偶性构建方程组，解之即可；（2）恒成立等价于在恒成立（其中），
令，讨论二次项系数，利用三个“二次”的关系布列不等式组即可.
试题解析：
（1）①，，
分别是定义在上的奇函数和偶函数，②，由①②可知
（2）当时，，
令，即 ，
恒成立，
在恒成立.令
（ⅰ）当时，（舍）；
（ⅱ）法一：当时，
或 或
解得.
法二：由于，所以或 解得.
（ⅲ）当时，，解得综上或
点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，然后研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.