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八年级数学上册知识总结与相关练习第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。二、全等三角形、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。注意：（）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。（）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。、全等三角形的符号表示、读法与全等记作，“”读作“全等于”。注意：（）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。（）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。（）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。、三角形全等的识别方法（）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“”。（）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“”。（）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“”。（）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“”。（）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“”。注意：、不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。、三角形全等的证明思路找夹角（）已知两边都是直角三角形找另一边找边的对角（）已知一边一角找夹角的另一边找夹边的另一角（）已知两角找夹边找其他任意一边、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（）旋转；（）翻折；（）平移。三、角平分线的性质定理及逆定理、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。注意：（）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。（）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。、三角形的内心利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。说明：（）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。 （）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。（）三角形外角角平分线的交点共有个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有个。基础训练一判断(1)边长相等的正方形都是全等图形;( )(2) 同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形. ( )(3) 面积相等的两个三角形是全等三角形. ( )(4) 两个全等三角形的面积相等. ( )(5) 半径相等的两个圆是全等图形. ( )二、选择题：1、在ABC中，A=50，BO、CO分别是B、C的平分线，交点是O，则BOC的度数是（ ） A. 600B. 1000C. 1150D. 13002、下列所说的三角形中，必定全等的是（ ）A. 各有一个角是45的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 各有一个角是45，腰长都是3cm的两个等腰三角形D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形3、在和中，若证还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）A. B. C. D. 4、如图在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB=6cm，则DFE的周长是（ ）A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm（4） （5） （6）5、如图，1=2，C=D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（ ）A. DAE=CBE B. CE=DE C.DEA不全等于CBED.EAB是等腰三角形6、 如图在ABD和ACE都是等边三角形，则ADCABE的根据是（ ）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS7、 在和中，下列各组条件中，不能保证：的是（ ） A. 具备B. 具备 C. 具备D. 具备8、 如图，ABCD，ADBC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 69、 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边10、 如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等10. 如图ABC中，ADBC，D为BC中点，则以下结论不正确的是（ ）A.ABDACD B.B=C C. AD是A的平分线 D. ABC是等边三角形三. 解答题：1、已知：如图 , 四边形ABCD中 , ABCD , ADBC求证：ABDCDB2、 已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,ABDE,且AB=DE,BE=CF. 求证:ACDF3. 已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF4、如图点A、B、C、D在同一直线上，垂足分别为A、D，AE=DF，AC=BD，求证：BE=CF。 5、如图和均为等边三角形，求证：DC=BE。6、如图，已知1=2，3=4，EC=AD，求证：AB=BE。7、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F求证：OE=OF第十二章 轴对称一、知识整理（一）基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.（二）主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.对称点的坐标规律（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.（三）有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.基础训练1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为( )A.22 B.29C.22或29D.172.如图14110所示，图中不是轴对称图形的是( )3.在ABC中，A和B的度数如下，其中能判定ABC是等腰三角形的是( )A.A=50，B=70B.A=70，B=40C.A=30，B=90D.A=80，B=604.如图14-111所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若BDC=69，则A等于( )A.32B.36C.48D.525. 右图是屋架设计图的一部分，其中A=30，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m6. 等腰三角形有 条对称轴.等边三角形有 条对称轴.7.在ABC中，AB=AC，A+B=140，则A= .8. 如图，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC=_9、（1）等腰三角形的一个内角等于130，则其余两个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于70，则其余两个角分别为 .10、分别写出下列各点关于x轴及y 轴对称的点的坐标： （2，6） （1，3） （5，12） （6，1） （0，10） （12，0）关于x轴对称_关于y轴对称_ABCCAB三、尺规作图11、如图，ABC和ABC成轴对称图形，试作出对称轴12、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。13、在右图中找出点P，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。14、如下图（左），某地由于居民增多，要在直线公路上建一个公共汽车站，A、B为居民区，要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在哪里？15、在下图（右）直线上找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小。16、如右图，四边形ABCD的顶点坐标为A（5，1），B（1，1）， C（1，6），D（5，4），请分别作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标。17、某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？四、应用提高18、在ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，求ABC各角度数。19、ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，CBD的周长为24cm，求ABC的周长。20、如图，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC21、已知等腰三角形的两边a，b，满足+(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周长。22、如图14106所示，在ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求BAC的度数.23、如图14104所示，已知ACB=90，CD是高，A=30.求证BD=AB. 24、如图14-109所示，在ABC中，B=60，AB=4，BC=2.求证ABC是直角三角形.第十三章 实数本章总结归纳乘方开方互为逆运算开平方开立方平方根立方根如果x2=a，那么x=其中是a的算数平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根平方根等于本身的只有0.如果x3=a，那么x=正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数立方根等于本身的有1和0.有理数无理数实数有理数和无理数统称为实数有限小数和无限循环小数都叫做有理数无限不循环小数叫做无理数（1）无限不循环小数;（2）所有开不尽的方根;（3）及含的式子基础训练一、填空题1一般的，如果一个_的平方等于a ，即_，那么这个_叫做a的算术平方根a的算术平方根记为_，a叫做_规定：0的算术平方根是_2一般的，如果_，那么这个数叫做a的平方根这就是说，如果_，那么x 叫做a的平方根，a的平方根记为_3求一个数a的_的运算，叫做开平方4一个正数有_个平方根，它们_；0的平方根是_；负数_5.25的算术平方根是_；_是9的平方根；的平方根是_6计算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_二、选择题7下列各数中没有平方根的是（ ）A（3）2 B0 CD638下列说法正确的是（ ）A169的平方根是13B1.69的平方根是1.3C（13）2的平方根是13D（13）没有平方根三、解答题9求下列等式中的x：（1）若x21.21，则x_； （2）x2169，则x_；（3）若，则x_； （4）若x2（2）2，则x_10要切一块面积为16cm2的正方形钢板，它的边长是多少？11的平方根是_；0.0001算术平方根是_：0的平方根是_12的算术平方根是_：的算术平方根的相反数是_13一个数的平方根是2，则这个数的平方是_14表示3的_；表示3的_15如果x2有平方根，那么x的值为_16如果一个数的负平方根是2，则这个数的算术平方根是_，这个数的平方是_17若有意义，则a满足_；若有意义，则a满足_18若3x2270，则x_四、判断正误193是9的算术平方根（ ）203是9的一个平方根（ ）219的平方根是3（ ）22（4）2没有平方根（ ）2342的平方根是2和2（ ）五、选择题24下列语句不正确的是（ ）A0的平方根是0B正数的两个平方根互为相反数C22的平方根是2 Da是a2的一个平方根25一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（ ）Aa8Ba4Ca28Da28六、解答题26求下列各式的值：（1）3 （2） （3） （4）27要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？七、选择题1在3.14，这五个数中，无理数的个数是 （ ）A1 B2 C3 D42一个数的平方是4，这个数的立方是 （ ）A8 B-8 C8或-8 D4或-13下列说法正确的是 （ ）A的立方根是 B-125没有立方根 C0的立方根是0 D3一个数的算术平方根的相反数是，则这个数是 （ ）A B C D4下列运算中，错误的有 （ ）； ； ； A1个 B2个 C3个 D4个5 的平方根是 （ ）A25 B5 C5 D256若 ，则a的值是 （ ）A B C D7已知平面直角坐标系中，点A的坐标是（，），将点A向右平移3个单位长度，然后向上平移个单位长度后得到点B，则点B的坐标是 （ ）A（，） B（，） C（，） D（3，）八、填空题8的平方根是 9已知，则x= ；y= 10若的整数部分为a，小数部分为b，则a= ，b= 第二章 一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 ；数值始终不变的量叫做 ；二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数三、函数中自变量取值范围的求法：（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）.用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）.用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。（4）.若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）.对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象五、函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值例如：在正方形的面积公式S=a2中，若a=2；则S4；若a=3，则S9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值六、函数有三种表示形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右呈上升趋势，即y随着x的增大而增大；当k0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右呈上升趋势，y随x的增大而增大k0时，图象与y轴的交点在x轴的上方，即y轴的正半轴；当b0,b0 (B)k0,b0 (C)k0 (D)k0,b02直线y=kx+b在坐标系中的位置如图，则( )A、 B、 C、 D、3将直线向上平移两个单位，所得的直线是（ ）A B C D4若把一次函数y=2x3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )（）y=2x (B) y=2x6 （C） y=5x3 （D）y=x35下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）(A) y=3x+2 (B) y=3x2 (C) y=3x+2 (D) y=3x2 6过第三象限的直线是( )A、y=-3x+4 B、y=-3x C、y=-3x-3 D、y=-3x+77已知一次函数y=3xb的图象经过点P(1，1)，则该函数图象必经过点( )A.(1,1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，2)8.如图,直线经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( ) A. B. C. D.9.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范是( )A、 B、 C、 D、10函数y = k（x k）（k0）的图象不经过 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限y0xy0xy0xy0x11若一个函数中, 随的增大而增大,且,则它的图象大致是（ ）(A) ( B) ( C) (D)12直线y=x与x轴交点坐标为_，与y轴交点坐标为_，图象经过第_象限，y随x增大而_13已知一次函数y=kx-k+4的图象与y轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是_14已知一次函数,函数的值随值的增大而增大,则的取值范围是 15已知一次函数y=2x+4的图像经过点（m，8），则m_16若一次函数y=kx+b的图像经过(-2,-1)和点(1,2),则这个函数的图像不经过 象限 17若函数y=mx(4m4)的图象过原点，则m=_，此时函数是_ _ _函数18若函数y=mx(4m4)的图象经过（1，3）点，则m=_，此时函数是_ _函数19.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3