数列求和7种方法(方法全-例子多).doc

完整版)数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
［例1] 已知，求的前n项和。
解:由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝＝
∴ 当 ，即n＝8时,
题1。等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝
题2．若12+22+…+（n—1）2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c=
。
解： 原式= 答案：

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列｛an·　bn｝的前n项和，其中{ an }、｛ bn ｝分别是等差数列和等比数列.
［例3］ 求和：………………………①
解：由题可知，｛｝的通项是等差数列｛2n－1｝的通项与等比数列｛｝的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
［例4］ 求数列前n项的和.
解：由题可知，{｝的通项是等差数列｛2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位)
①－②得 （错位相减）

∴
练习题1 已知 ，求数列{an｝的前n项和Sn
答案:
练习题2 的前n项和为____
答案：

三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
［例5] 求证：
证明： 设………………………….。 ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………。.…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴
［例6］ 求的值
解:设…………。 ①
将①式右边反序得
…………..② （反序)
又因为
①+②得 （反序相加)
＝89
∴ S＝44.5
题1 已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
（2）利用第（1)小题已经证明的结论可知,

两式相加得：
所以.

练习、求值：

四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和，再将其合并即可.
［例7] 求数列的前n项和：，…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a＝1时，＝ (分组求和）
当时,＝
［例8］ 求数列{n（n+1）(2n+1)}的前n项和。
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ (分组求和)
＝

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项）分解,然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项）如：
(1) （2）
（3） (4）
（5）
(6)
（7）
（8)

［例9] 求数列的前n项和.
解:设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
［例10] 在数列{an｝中，,又,求数列｛bn｝的前n项的和。
解： 　 ∵
　 ∴ (裂项)
∴ 数列｛bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
［例11］ 求证：
解：设
∵ (裂项）
∴ （裂项求和）
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
练习题1.

答案:。

练习题2。 =
答案:

六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此,在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例12］ 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ (找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°)+（ cos2°+ cos178°)+ cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° (合并求和）
＝ 0
［例13] 数列｛an}：，求S2002。
解：设S2002＝
由可得

……

∵ （找特殊性质项)
∴　S2002＝ （合并求和)
＝

＝
＝
＝5
［例14］ 在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解:设
由等比数列的性质 （找特殊性质项)
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10

练习、求和：
练习题1 设，则＝___
答案：2.
练习题2 ．若Sn=1—2+3—4+…+(-1)n—1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 （ )
A.1 B.—1 C.0 D .2
解：对前n项和要分奇偶分别解决,即： Sn= 答案：A
练习题 3 1002—992+982-972+…+22-12的值是
A.5000 B。5050 C.10100 D。20200
解:并项求和，每两项合并,原式=（100+99)+（98+97)+…+（2+1）=5050。答案：B

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

［例15] 求之和.
解：由于 （找通项及特征)
∴
＝ (分组求和）
＝
＝
＝
[例16］ 已知数列{an｝：的值。
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ (裂项)
∴ (分组、裂项求和）
＝
＝

提高练习：
1．已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；

2．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α—2αβ+6β=3．
（1）试用表示a；

3．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设，求；
说明:本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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