等差数列综合测验.doc

数列等差数列综合练习

一．选择题
1．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）

A．
12
B．
16
C．
20
D．
24
2．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）

A．
58
B．
88
C．
143
D．
176
3．设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（　　）

A．
18
B．
20
C．
22
D．
24
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（　　）

A．
7
B．
8
C．
15
D．
16
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）

A．
1
B．
﹣1
C．
2
D．

6．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）

A．
13项
B．
12项
C．
11项
D．
10项

二． 填空题
8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　_________　．

9．在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=　_________　．

10．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　_________　．

11．在等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则a4+a5+…+a10=　_________　．

12．已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，则前10项和S10=　_________　．

13．已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11=　___　．

三．解答题
14．已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn=5n2+3n；（2）Sn=3n﹣2．

15．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．

16．已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列，并求出an；
（Ⅱ）设bn=（2﹣n）（an﹣2），求{bn}的最大项．

数列等差数列综合练习
参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）
1．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）

A．
12
B．
16
C．
20
D．
24

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果
解答：
解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，
故选B
点评：
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题

2．（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）

A．
58
B．
88
C．
143
D．
176

考点：
等差数列的性质；等差数列的前n项和。1522608
专题：
计算题。
分析：
根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．
解答：
解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，
故选B．
点评：
本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

3．（2011•江西）设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（　　）

A．
18
B．
20
C．
22
D．
24

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程求出方程的解即可得到首项的值．
解答：
解：由s10=s11，
得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11
即a11=0，
所以a1﹣2（11﹣1）=0，
解得a1=20．
故选B
点评：
此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．

4．（2009•宁夏）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（　　）

A．
7
B．
8
C．
15
D．
16

考点：
等差数列的性质；等比数列的前n项和。1522608
专题：
计算题。
分析
先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．
解答：
解：∵4a1，2a2，a3成等差数列
∴，
∴，即
∴q=2
∴S4===15
故选C
点评：
本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．

5．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）

A．
1
B．
﹣1
C．
2
D．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答：
解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得
a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，
∴====1，
故选A．
点评：
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an．

6．（2003•北京）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：

计算题。
分析：
法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．
法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．
解答：
解：法一：
∵{an}为等差数列，
设首项为a1，公差为d，
由已知有5a1+10d=20，
∴a1+2d=4，
即a3=4．
故选A．
法二
在等差数列中，
∵a1+a5=a2+a4=2a3，
∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，
∴a3=4．
故选A．
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

7．（2002•北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）

A．
13项
B．
12项
C．
11项
D．
10项

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
先根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．
解答：
解：依题意a1+a2+a3=34，an+an﹣1+an﹣2=146
∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180
又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+++an﹣2∴a1+an==60
∴Sn===390
∴n=13
故选A
点评：
本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．

二．填空题（共9小题）
8．（2012•江西）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　35　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
根据等差数列的通项公式，可设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．

解答：
解：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴设数列{an}的公差为d1，设数列{bn}的公差为d2，
∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，
而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．
∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35
故答案为：35
点评：
本题给出两个等差数列首项之和与第三项之和，欲求它们的第五项之和，着重考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题．

9．（2011•重庆）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=　74　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．
解答：
解：等差数列{an}中，a3+a7=37，
∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37
∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，
故答案为：74
点评：
本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．

10．（2008•海南）已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　15　．

考点：
等差数列的性质1522608
专题：
计算题。
分析：
根据等差中项的性质可知a3+a8=a5+a6，把a3+a8=22，a6=7代入即可求得a5．
解答：
解：∵{an}为等差数列，
∴a3+a8=a5+a6∴a5=a3+a8﹣a6=22﹣7=15
点评：
本题主要考查了等差数列有关性质及应用．等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以重点掌握并灵活应用．

11．（2003•上海）在等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则a4+a5+…+a10=　﹣49　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
先根据a5=3，a6=﹣2，进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10=S10﹣S3求得答案．
解答：
解：由题意知，解得a1=23，d=﹣5
∴a4+a5+…+a10=S10﹣S3=﹣=﹣49
故答案为﹣49
点评：
本题主要考查了等差数列的性质．要熟练记忆等差数列的通项公式和求和公式．

12．已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，则前10项和S10=　155　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
根据已知等差数列{an}中，a2=5，a4=11，我们易构造出基本项（首项与公差）的方程组，解方程组后，即可得到首项与公差，代入前n项和公式，即可得到答案．
解答：
解：∵等差数列{an}中，a2=5，a4=11，
a1+d=5，a1+3d=11，
解得a1=2，d=3，
则S10=2×10+=155
故答案为：155
点评：
本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知构造出基本项（首项与公差）的方程组，是解答本题的关键．

13．已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11=　6　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
先根据S17=51求出2a1+16d的值，再把2a1+16d代入a7+a11即可得到答案．
解答：
解：∵S17===51
∴2a1+16d=6
∴a7+a11=a1+6d+a1+10d=2a1+16d=6
故答案为6
点评：
本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式．由于公式较多，应注意平时多积累．

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m=　20　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
利用等差数列的性质am﹣1+am+1=2am，根据已知中am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0，我们易求出am的值，再根据am为等差数列{an}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．
解答：
解：∵数列{an}为等差数列
则am﹣1+am+1=2am
则am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0可化为
2am﹣am2﹣1=0
解得：am=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）am=39
则m=20
故答案为：20
点评：
本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，是解答本题的关键．

15．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项的和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当n=　8　时，Sn最大．

考点：
等差数列的性质；数列的函数特性。1522608
专题：
计算题。
分析：
根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大．
解答：
解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0
∴a8+a9＞0，并且a9＜0，
∴a8＞0，
∴数列的前8项和最大
故答案为8．
点评：
本题考查等差数列的性质和前n项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题．

16．若两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为sn，sn′，且，则的值为　　．

考点：
等差数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
利用等差数列的性质，把要求的式子变形为 ，把 n=8代入运算可得结果．
解答：
解：则======．
故答案为 ．
点评：
本题考查等差数列的性质，式子的变形是解题的关键．

三．解答题（共4小题）
17．（2012•湛江）已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn=5n2+3n；（2）Sn=3n﹣2．

考点：
数列递推式。1522608
分析：
先利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），再求出a1，即可得到数列的通项．
解答：
解：（1）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（5n2+3n）﹣[（5（n﹣1）2+3（n﹣1）]=10n﹣2
n=1时，a1=S1=8也满足上式
∴an=10n﹣2；
（2）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n﹣2）﹣（3n﹣1﹣2）=2•3n﹣1
n=1时，a1=S1=1不满足上式
∴
点评：
本题考查数列通项的求解，解题的关键是先求出a1，再利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），属于中档题．

18．（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．

考点：
等比数列的性质；等差数列的通项公式。1522608
专题：
计算题。
分析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值．
解答：
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2．
∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1 Sk+2 ，
∴4k2 =2（k+2）（k3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6．
点评：
本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．

19．（2012•湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

考点：
数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质。1522608
专题：
计算题。
分析：
（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项
（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求
解答：
解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d
由题意可得，
解得或
由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7
（II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比
当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件
故|an|=|3n﹣7|=
设数列{|an|}的前n项和为Sn
当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5
当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）
=5+=，当n=2时，满足此式
综上可得
点评：
本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用

20．84已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列，并求出an；
（Ⅱ）设bn=（2﹣n）（an﹣2），求{bn}的最大项．

考点：
等比关系的确定。1522608
专题：
综合题；转化思想；综合法。
分析：
（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．
（Ⅱ）求出bn=（2﹣n）（an﹣2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．
解答：
解：（Ⅰ）证明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；
由an+Sn=2n得
an+1+Sn+1=2（n+1）
两式相减得2an+1﹣an=2，即2an+1﹣4=an﹣2，即an+1﹣2=（an﹣2）
是首项为a1﹣2=﹣1，公比为的等比数列．故an﹣2=﹣，故an=2﹣，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
由
由bn+1﹣bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn
故bn的最大项为．
点评：
本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．

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