正余弦定理.doc

完整word)正余弦定理
一对一辅导教案
学生姓名

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年 月 日
第（ )次课
共( ）次课
课时： 课时
教学课题

教学目标

教学重点与难点

教学过程
1、定理
正弦定理
余弦定理
2、内容
1、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有 ．

3、推论
①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;
②sinA=，sinB=，sinC=;
③a：b：c=sinA： sinB: sinC;
④

4、注意
（1）在△ABC中，已知A,a,b,讨论三角形解的情况。
先由可进一步求出B；则C =180°—（A+B），从而。
（2）在ΔABC中，sinA>sinB是A〉B的充要条件。(∵sinA〉sinBa>bA>B）

由余弦定理判断三角形的形状
a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，
a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形 ,必须说明每个角都是锐角)

5、三角形面积公式
三角形面积公式：①；
②，其中，为内切圆半径； ③，为外接圆半径．

6、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况
1。当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解;否则无解．
2。当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解;其他情况时则只有一解或无解．
（1）A为直角或钝角

（2） A为锐角

7、解三角形的一般思路：

（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解;
(2）已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；
（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解;
（4）已知三边，利用余弦定理求解.

8、方法与技巧总结

1、已知两角A、B，一边,由A+B+C=π及，可求角C，再求、；
2、已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出,再由余弦定理,求出角B、C；
3、已知三边、、，由余弦定理可求出角A、B、C;
4、已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=π—(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解.
题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型:）
（1)已知两角一边用正弦定理;（2)已经两边及一边对角用正弦定理；
(3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理
例1、在中,已知求
例2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答
（1） （2）
（3) （4）
例3．（1)在中，已知，则A= ；
（2)若△ABC的周长等于20，面积是，60°，则边=
（3）、已知锐角三角形的边长分别为2、3、，则的取值范围是=
（4）在△ABC中，已知，则=
题型二：判断三角形的形状
例4．(1）在中，若试判断的形状。

（2） 在中，若试判断的形状.

（3）在中，若试判断的形状。

（4） 在中，已知,且，判断三角形的形状；

(5）在中，且，判断其形状；

题型三：三角形的面积的问题
例6、(1）已知中， ，， 求、、及外接圆的半径。

（2）在△中,已知．
(Ⅰ）求角； (Ⅱ)若，△的面积是,求．

题型四、正余弦定理的综合应用
1、在中，角的对边分别为,.k.
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）求的面积

2、设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且a cosB=3,b sinA=4．

（Ⅰ)求边长a;
（Ⅱ）若的面积，求的周长．

直击高考
1.（2010天津）在中，内角A，B，C的对边分别是,若 则A=（ )
A. B。 C。 D
2．（2010海南）在中,D是边BC上一点，BD=DC，AD=2.若的面积为,则____________。
3.（2010山东） 在 中，内角A，B，C的对边分别是，若=，则角A的大小为 _____________.
4.（2010广东） 在中，内角A，B,C的对边分别是， 若A+C=2B，则.
5（2008福建）在中，内角A，B，C的对边分别是, 若则角B的值为( )
A B C D

1.（2009北京理）（本小题共13分）
在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.

2。（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,,求B。

3。(2009安徽卷文）(本小题满分12分）
在中，。
（I）求的值；
(II)设求的面积。

4。（2009江西卷文）(本小题满分12分)
在△中，所对的边分别为,,．
（1）求；
（2）若,求,，．

5.(2009天津卷文）（本小题满分12分）
在中，
（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ)求的值.

6.（2009四川卷文)（本小题满分12分）
在中,为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。

7、（2010年浙江）在△ABC中，角所对的边分别为。已知
(1）求的值；(2）当,时。求及的长．

8、（2010年全国2）中，为边上的一点,，，,求．

9、（2011年江苏）在△ABC中，角所对应的边为
(1）若 求A的值；(2）若,求的值.

10、（2011年山东）在△ABC中，内角的对边分别为已知．
（1）求的值；（2）若，△ABC的面积S。

11、（2011年江西）在△ABC中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值。

12.(2011江苏15)在中,角A、B、C所对应的边为
（1）若， 求A的值；
(2）若,，求的值。

13。（2011湖北理16)
设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知。
（Ⅰ)求的周长
(Ⅱ)求的值

14.(2011湖南理17)
在中,角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足．
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）求的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小。

15.(2011山东理17）
在中，内角A，B,C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；
(II)若,的面积S。