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任意角的三角函数及诱导公式(学生版).doc

1、任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】1任意角(1)角的分类:按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角:终边与角相同的角可写成(3)弧度制:1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,,是以角作为圆心角时所对圆弧的长,为半径用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制比值与所取的的大小无关,仅与角的大小有关弧度与角度的换算:弧度;弧度弧长公式:,扇形面积公式:.2任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义: 设为角终边上异于原点一点,则角的正弦、余弦、正切分别是: , 特别地,当时,

2、(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作垂直于轴于.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中,单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线 () () () ()有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线4同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:(2)商数关系:.5九组诱导公式角函数对于角“”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当为奇数时,正弦变余

3、弦,余弦变正弦;当为偶数时,函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时,原函数值的符号”【课前小练】1.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴,若是角终边上一点,且,则_2.若,则A B C D 3.已知,那么( )A. B. C. D. 【例题解析】考点一任意角的三角函数值例1 已知角的终边过点,求这个角的三个三角函数值。 变式1 已知角的终边在直线上,求的值考点二三角函数线、三角函数值的符号例2 已知,那么角是( )A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角例3 函数的值域是( ) A. -1,1 B. -1,1,3 C. -1,3

4、 D. 1,3例4 已知,则下列命题成立的是 ( )A若、是第一象限角,则 B若、是第二象限角,则C若、是第三象限角,则 D若、是第四象限角,则变式2 的值 ( )A大于 B小于 C等于 D不确定例5 已知,求角的集合变式3 的定义域为_考点三扇形弧长、面积公式的应用例6 半径为,圆心角为所对的弧长为( ) . . . .例7 (1)一个半径为的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?(2)一扇形的周长为;当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?变式4 已知一扇形的圆心角为,所在圆的半径为.(1)若,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2

5、)若扇形的周长是一定值,当为多少弧度时,该扇形有最大面积?考点四同角三角函数的关系题型一: 的相互转化知一求二是基础例8 若,则( )A B C D例9 (1)已知,且为第三象限角,求的值;(2)已知,求的值;(3)已知,求值:;变式5 已知为某三角形的一内角,且,求,的值变式6 已知,求下列各式的值:;变式7 已知,那么的值为( )A2B2CD题型二:的运用常用思路1:构建齐次式常用思路2:的转化例10 已知,则的值为 ()ABCD变式8 (1)若角是第二象限角,化简; (2)化简:.变式9 (1)若,且,则_(2)若是三角形的内角,且,试判断三角形的形状;考点五诱导公式题型一 利用诱导公式

6、化简求值例11 已知( ) A. B. C. D. 变式10 已知,则 _;例12 ,的值为 ( ) A. B. C. D. 变式11 ,且是第四象限的角,那么_ 变式12 已知,则变式13 已知:,求值 变式14 化简:; 变式15 若,则_.题型二 利用诱导公式求任意角的三角函数负角变正,大角变小,小变锐角例13 的值为 () A. B. C. D. 变式16 化简的结果是 ( ) A. B. C. D.变式17 的值为() A. B. C. D. 变式18 计算题:【课后练习】1已知,那么角是 ()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角2已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 ()A1 B4C1或4 D2或43(吴家山中学难度C)已知,则下列命题成立的是 ( )A若、是第一象限角,则B若、是第二象限角,则C若、是第三象限角,则D若、是第四象限角,则4(课本改编题)若,则 ( )A. B. C. D. 5已知角的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(4m,3m) (m0)是终边上一点,则2sin cos _.6 函数y的定义域为_7 在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围,并由此写出角的集合: (1) (2) 8 已知:,求证:.8

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