任意角的三角函数及诱导公式(学生版).doc

任意角的三角函数及诱导公式
【知识梳理】
1．任意角
(1)角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成．
(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，,是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：弧度；弧度．
⑤弧长公式：，扇形面积公式：.
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：
设为角终边上异于原点一点，则角的正弦、余弦、正切分别是：
，，
特别地，当时，，
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于.由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中，，单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则.我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线

(Ⅰ)　　　 　 　(Ⅱ)　 (Ⅲ)　　 　　　(Ⅳ)
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
4．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：．
(2)商数关系：.
5．九组诱导公式

角
函数

对于角“”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”．
【课前小练】
1.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则_____________
2.若，，则
A． B． C． D．
3.已知，那么（ ）
A. B. C. D.
【例题解析】
考点一　任意角的三角函数值
例1 已知角的终边过点，求这个角的三个三角函数值。

变式1 已知角的终边在直线上，求的值．

考点二　三角函数线、三角函数值的符号
例2 已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
例3 函数的值域是（ ）
A. {-1，1} B. {-1，1，3} C. {-1，3} D. {1，3}
例4 已知，则下列命题成立的是 （ ）
A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则
C．若、是第三象限角，则 D．若、是第四象限角，则
变式2 的值 （ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
例5 已知，求角的集合．

变式3 的定义域为________．
考点三　扇形弧长、面积公式的应用
例6 半径为，圆心角为所对的弧长为（ ）
. . . .
例7 (1)一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

变式4 已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
(1)若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？

考点四　同角三角函数的关系
题型一: 的相互转化
知一求二是基础
例8 若，，则（ ）
A． B． C． D．
例9 （1）已知，且为第三象限角，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求值：①；②．

变式5 已知为某三角形的一内角，且，求，，的值．

变式6 已知，求下列各式的值：
①；②；③

变式7 已知，那么的值为 （ ）
A．－2 B．2 C． D．－

题型二:的运用
常用思路1:构建齐次式
常用思路2：的转化
例10 已知,则的值为 （　　）
A． B． C． D．
变式8 (1)若角是第二象限角，化简；
(2)化简：.

变式9 （1）若，且，则_____
（2）若是三角形的内角，且，试判断三角形的形状；
考点五　诱导公式
题型一 利用诱导公式化简求值
例11 已知（ ）
A. B. C. D.
变式10 已知,则 __________;

例12 ，，的值为 （ ）
A. B. C. D. —
变式11 ，且是第四象限的角，那么______

变式12 已知，则

变式13 已知：，求值

变式14 化简：；

变式15 若,则____________.

题型二 利用诱导公式求任意角的三角函数
负角变正，大角变小，小变锐角
例13 的值为 （　　）
A. B. C. D.
变式16 化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
变式17 的值为 （　　）
A. B. C. D.
变式18 计算题：

【课后练习】
1．已知，那么角θ是 (　　)
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 (　　)
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
3．（吴家山中学·难度C）已知，则下列命题成立的是 （ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第三象限角，则
D．若、是第四象限角，则
4．（课本改编题）若，则 （ ）
A. B. C. D.
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m，3m) (m>0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.

6． 函数y＝的定义域为________．

7． 在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合:
（1） （2）

8． 已知：，求证：.

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