同余定理解法的其他情况.doc

(完整word)同余定理解法的其他情况同余定理分三类:口诀套用，化余为一,其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀.所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数,称作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为:“差同减差。例:“一个数除以4余1，除以5余2,除以6余3”，因为41=5-2=63=3,所以取3,表示为60n-3。【60后面的“n”请见4、,下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和。例：“一个数除以4余3，除以5余2,除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。3、余同取余:用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数,称为:“余同取余”.例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中,推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题.下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例1】一个数被3除余1，被4除余2,被5除余4，这个数最小是多少?题中3、4、5三个数两两互质。则4,5=203，5=153，4=123，4，5=60. 为了使20被3除余1，用202=40 使15被4除余1，用153=45 使12被5除余1，用123=36。 然后，分别乘以他们的余数：401+452+364=274， 因为,27460,所以，274-604=34，就是所求的数。【例2】一个数被3除余2,被7除余4，被8除余5，这个数最小是多少？在1000内符合这样条件的数有几个?题中3、7、8三个数两两互质。 则7，8=563，8=243，7=213，7，8=168。 为了使56被3除余1，用562=112 使24被7除余1，用245=120 使21被8除余1,用215=105 然后,1122+1204+1055=1229。 因为,1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。 再用（100053）/168得5， 所以在1000内符合条件的数有5个。【例3】一个数除以5余4,除以8余3，除以11余2,求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。 则8，11=885，11=555，8=405,8，11=440。 为了使88被5除余1,用882=176 使55被8除余1，用557=385 使40被11除余1，用408=320. 然后，1764+3853+3202=2499, 因为，2499440，所以，2499-4405=299，就是所求的数.【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？题中9、7、5三个数两两互质。 则7,5=359，5=459，7=639，7，5=315。 为了使35被9除余1，用358=280 使45被7除余1,用455=225 使63被5除余1,用632=126。 然后,2805+2251+1262=1877， 因为,1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法，华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决.来源：华图教育剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满足这些条件的所有三位数。卡卡西解析:-一个数除以7余3,可以把这个数字表示为7a+3,同理有5b+2 8d+67a+3=5b+2 7a+1=5b a=2b=3最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d(因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑） 3c+3=8d C=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几?分析:根据同余的性质:此三数种任何两数的差都应是除数的倍数,即除数应是此三数中任两数的差的公约数。-解:300-262=38262205=57 (28,57）=1912 +22 + 32 +20012+20022除以7的余数是_。-方法一：根据公式:12+22+n2=n（n+1）（2n+1)/6方法二:7=01， 7=04， 7=12, 7=22， 7=34， 7=51， 7=7（余数为0）， ， 7与 7余数相同，同样地， 7与 7余数相同，.所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数，而(1+4+2+2+4+1）7=2（余数 为0),而20027=286，所以原式能被7整除,即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？-1998的1986次=（2657+3)1986次 =3的1986次30整除7的余数是131整除7的余数是332整除7的余数是233 整除7的余数是6 34 整除7的余数是435 整除7的余数是536 整除7的余数是1由此可见,6次一循环所以：3的1986（1986/6=331,余数为0）次除7的余数为30/7=11+1=2