平行线几个压轴题有答案.doc

练习
11. 问题情境：如图 1，AB ∥ CD，∠PAB = 130∘，∠PCD = 120∘，求 ∠APC 的度数．小明的思路是过点 P 作 PE ∥ AB，通过平行线的性质来求 ∠APC．
(1) 按照小明的思路，求 ∠APC 的度数；
(2) 问题迁移：如图 2，AB ∥ CD，点 P 在射线 ON 上运动，记 ∠PAB = α，∠PCD = β，当点P 在 B，D 两点之间运动时，问 ∠APC 与 α，β 之间有何数量关系？请说明理由；

(3) 在(2)的条件下，如果点 P 不在 B，D 两点之间运动时(点 P 与点 O，B，D 三点不重合)，请直接写出 ∠APC 与 αβ 之间的数量关系．
(1) 过点 P 作 P E ∥ AB，
∵ AB ∥ CD，
∴ P E ∥ AB ∥ CD，
∴ ∠A + ∠AP E = 180∘，∠C + ∠CP E = 180∘，
∵ ∠P AB = 130∘，∠P CD = 120∘，
∴ ∠AP E = 50∘，∠CP E = 60∘，
∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = 110∘．
(2) ∠AP C = ∠α + ∠β．
理由：如图 2，过 P 作 P E ∥ AB 交 AC 于 E，

∵ AB ∥ CD，
∴ P E ∥ CD，
∴ ∠α = ∠AP E，∠β = ∠CP E，
∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = ∠α + ∠β．
(3) 如图 3 所示，
当 P 在 BD 延长线上时，∠CP A = ∠α − ∠β；
如图 4 所示，
当 P 在 DB 延长线上时，∠CP A = ∠β − ∠α．

24. 问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD= °．
问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P与点E，F不重合)运动．
(1) 当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由；
(2) 当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．

解：过点P作PE∥AB， 则PE∥CD，
∴∠ABP+∠BPE=180°，∠DPE+∠CDP=180°，
∴ ∠ABP+∠BPE+∠DPE+∠CDP=360°，
∵∠BPD=∠BPE+∠DPE，
∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，
故答案为：360；
(1) ∠ABP+∠CDP=∠BPD；
证明：如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
(2) 不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD， 理由：如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，
∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD， 即∠BPQ=∠B-∠D．
如图3，同理∠D-∠B=∠BPD

25. 如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
(1) 当点P移动到AB、CD之间时，如图(1)，这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系证明你的结论； (2)当点P移动到图(2)、图(3)的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．

解 ：(1)∠APC=∠A+∠C．
证明：如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C．
(2)如图2，∠APC+∠A+∠C=360°， 理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PE，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°；
如图3，∠APC=∠C-∠A． 理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠C=∠CPE，∠A=∠APE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A．

26. 如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．
① 如图(2)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由；
② 如图(3)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠E，∠D又有何关系并说明理由；
③ 如图(4)所示，已知AB∥CD．请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由．

解：如图所示：
① 过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，则EM∥CD， 故EM∥AB∥CD，
∴∠MEB=∠B，∠MED=∠D，
∴∠B+∠D=∠E；
② 过E作EM∥AB，根据平行线的传递性，则EM∥CD 故EM∥AB∥CD，
∴∠MEB+∠B=180°，∠MED+∠D=180°，
∴∠B+∠E+∠D=360°；
③ 分别过E，F，G作AB 的平行线，
则∠1=∠B，∠2=∠3，
∠4=∠5，∠6=∠D，

∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D， 即，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．

27. 已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于CD两点，点P是直线l3上的一动点
(1) 如图①，若动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合)，问在点P的运动过程中是否始终具有
∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；
(2) 如图②，当动点P在线段CD之外且在的上方运动(不与C、D两点重合)，则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由；
(3) 请画出动点P在线段CD之外且在直线的下方运动(不与C、D两点重合)时的图形，并仿照图①、图② 标出∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间有何等量关系，请直接写出结论，不必说明理由．

解：(1)∠3+∠1=∠2成立，
理由如下： 过点P作PE∥l1 ，如图①，
∴∠1=∠APE，
∵l1 ∥l2 ，
∴PE∥l2 ，
∴∠3=∠BPE，
∵∠BPE+∠APE=∠2，
∴∠3+∠1=∠2；
(3) ∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2
理由为：
过点P作PE∥l1 ，如图②
∴∠1=∠APE，
∵l1 ∥l2 ，
∴PE∥l2 ，
∴∠3=∠BPE，
∵∠BPE-∠APE=∠2，
∴∠3-∠1=∠2．

(3)如图③所示，∠1-∠2=∠3．