双曲线的几何性质.doc

高二文科数学 优秀是一种习惯
导引式学案7　双曲线的几何性质

1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．
2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)
3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)
1．双曲线的简单几何性质
标准方程

图形

性
质
范围

对称性

顶点

轴长

离心率

渐近线

2.等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)性质：①渐近线方程为：y＝±x. ②离心率为：e＝.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线是中心对称图形．(　　)
(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长．(　　)
(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)
(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　)
二．典型例题
　(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.　　 B. C．1 D.
(2)若实数k满足0轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
A.＋1 B.＋1
C．2 D．2

[再练一题]
1．(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；

(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

[再练一题]
2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.

　已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.
(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；
(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；
(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．

总结：1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．
2．直线与双曲线有三种位置关系
(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．

[再练一题]
3．(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为________．

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　B．2　　C．4　　　 D．4
2．下列双曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．

4．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.

5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程.

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