惠州市2019届高三第一次调研考试(文科).doc

惠州市2019届高三第一次调研考试
数 学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，
则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．若“”为假命题，则与均为假命题；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．若命题，则命题；
D．“”的必要不充分条件是“”.
5．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相
对于原数据（ ）
A．一样稳定 B．变得比较稳定 C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
7．如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线，
，，及圆构成的.在圆内随机
取一点,则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数x，y满足的约束条件，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
10．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　）

A． B． C． D．
11．已知函数 的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。
13．已知向量，且与共线，则的值为　　　．
14．过点作圆的切线，则切线的方程为 ．
15．已知等比数列的前项和为，若，则的公比等于 ．
16．已知点在同一个球的球面上，，，若四面体
的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为________．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．

18．（本小题满分12分）
某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
人数
50
50
a
150
b

（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；
（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积 ，求点到平面的距离．

20．（本小题满分12分）
已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点．
过点作两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若， ，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点
坐标；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求实数的值及曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．

请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）当时，解不等式：．

惠州市2019届高三第一次调研考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
B
C
A
B
B
B
D
A

1． A
2． C 【解析】，其共轭复数为；
3．D
【解析】焦点在x轴上，则方程为（），所以，则，
故选D.
4．D
【解析】由题可知：时，成立，所以满足充分条件，但时，，所以必要条件不成立，故D错
5．B
【解析】由等差数列可知，所以，故选B .
6．C
【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不稳定．故选C.
7．A
【解析】由于图形关于原点成中心对称，关于坐标轴成轴对称，可知黑色部分图形构成四分之一个圆，由几何概型，可得，故选A.
8．B
【解析】画出不等式组表示的平面区域，在点处取得最大值，
∴．故选
9． B
【解】（方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；

（方法二）在上，，，所以；
在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．
10. B
【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；

11．D
【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.
详解：由函数的最小正周期为，可得，
，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
平移后图象关于轴对称，，，，
故选D.

12．A
【解析】设在上是增函数，易得是偶函数，故选A.

二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．14. 15. 16.
13．向量，，，又与共线，可得，解得．
14．
【解析】点A在圆C上，且半径AC所在直线的斜率为，而直线，则切线的斜率
，由直线方程的点斜式得，故切线的方程为
15． 【解析】由得，所以，
所以，所以.
16．
【解析】分析：确定外接圆的直径为圆心为的中点，求出球心到平面的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．

详解：∵，外接圆的直径为，圆心为的中点
∵球心恰好在棱上，，则为球的直径，则由球的性质，平面，则平面，即为三棱锥的高，由四面体的体积为，可得，
∴球的半径为
∴球的表面积为．
即答案为．
或者构造长方体，把三棱锥放入长方体比较简单。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：
（1）中，由条件及正弦定理得，……………………1分
∴.……………………2分
∵，，……………………4分
∵，∴.……………………6分
（2）∵，，
由余弦定理得

，……………………8分
∴.……………………10分
∴.……………………12分

18．(1)；(2) 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；(3).
解：
(1)由题设可知，，.……………………2分
(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，
所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………6分
(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：

共种可能．……………………9分
其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为．……………………12分
19．（1）证明见解析（2）到平面的距离为
(I）证：设BD交AC于点O，连结EO。
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC。……………………5分
（II）解由，可得.
作交于。
由题设易知，所以故，
又所以到平面的距离为……………………12分
法2：等体积法
由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，所以……………………12分
20．（1）（2）
解：（Ⅰ）由题意知，，解得，
故椭圆的方程为.……………………4分
（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.……………………5分
当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，
则直线的方程为，，，，，
联立，得，∴，
∴，，……………………8分
∴中点的坐标为；
同理，中点的坐标为，∴，……………………9分
∴直线的方程为，
即，∴直线过定点；……………………10分
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；………………11分
综上所述，直线过定点.……………………12分
21．
解：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），
求导，……………………2分
由f'（1）=0，解得m=﹣1……………………3分
从而f（1）=﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．　……………………5分　
（2）由，
当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）……………………6分
当m＜0时，由，得，或，……………………7分
当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；……………8分
当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．……………………9分
当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）…………10分
综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；
当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；
当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；
当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）．…………12分
22．解：
（1）∵点C的直角坐标为， …………1分
∴圆C的直角坐标方程为． …………2分
化为极坐标方程是 …………4分
（2）将代入圆C的直角坐标方程，
得，即． …………6分
∴，． …………7分
∴． …………9分
∵，∴，
∴．即弦长|AB|的取值范围是…10分
23．解：（1）由题意，得，对∀x∈R恒成立，即，
又，∴，
解得； …………4分
（2）当时，不等式可化为，
当时，变形为，解得，此时不等式解集为；
当时，变形为，解得：，此时不等式解集为；
当时，不等式解得：，此时不等式解集为，
综上，原不等式的解集为． …………10分