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第一章 随机事件及其概率 习题一一、填空题1设样本空间，事件，则 , . 2. 连续射击一目标，表示第次射中，直到射中为止的试验样本空间，则=.3一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 .4一批(个)产品中有个次品、从这批产品中任取个，其中恰有个个次品的概率是 .5某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .6在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 0.68 .7已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 当A,B互不相容时, P(AB)= 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当BA时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ；8. 若,;=.9. 事件两两独立, 满足,且P(A+B+C )=，=0.25？ .10已知随机事件的概率，随机事件的概率，及条件概率，则和事件的概率 0.7 .12假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 .13. 已知 .14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 .15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 .16. 一次试验中事件发生的概率为p, 现进行次独立试验, 则至少发生一次的概率为；至多发生一次的概率为 .17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .二、选择题1以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件为（D）.（A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B）“甲、乙两种产品均畅销”;（C）“甲种产品滞销”; （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件（D）.3. 如果事件A，B有BA，则下述结论正确的是（C）.（A） A与B同时发生; （B）A发生，B必发生； （C） A不发生B必不发生； （D）B不发生A必不发生.4. A表示“五个产品全是合格品”，B表示“五个产品恰有一个废品”，C表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）. 5. 若二事件和同时出现的概率P()=0则（C）.（A）和不相容； （B）是不可能事件；（C）未必是不可能事件； （D）P()=0或P()=0.6. 对于任意二事件和有 (C ). (A) ; （B）; （C）; （D）.8. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(AB)=P(A).9. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）.10. 设为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是 (A ). （A）; (B) ; (C) ; (D) .11. 设( B). 12. 设是任意两事件, 且, 则下列选项必然成立的是（B）. 13设是任意二事件,且,则必有（ C ）.(A) ; (B) ;(C) ; (D) 14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）.15. 设（D）. (A) 事件互不相容； (B) 事件互相对立； (C) 事件互不独立； (D) 事件相互独立. 16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）. 三、解答题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.解 1（1）；（2）；（3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111;（4）其中分别表示三段之长.2. 设为三事件，用运算关系表示下列事件：（1）发生,和不发生； （2）与都发生, 而不发生；（3）均发生； （4）至少一个不发生；（5）都不发生； （6）最多一个发生；（7）中不多于二个发生； （8）中至少二个发生.解 （1）或A (AB+AC)或A (B+C)；（2）或ABABC或ABC；（3）；（4）；（5）或； （6）；（7）；（8）.3下面各式说明什么包含关系？(1) ； (2) ； (3) 解 （1）； （2）； （3）4. 设具体写出下列各事件：(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5). 解 （1）5； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10.5. 从数字1,2,3，10中任意取3个数字，（1）求最小的数字为5的概率;记“最小的数字为5”为事件A 10个数字中任选3个为一组：选法有种，且每种选法等可能.又事件A相当于：有一个数字为5，其余2个数字大于5。这种组合的种数有.（2）求最大的数字为5的概率。记“最大的数字为5”为事件B，同上10个数字中任选3个，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一个数字为5，其余2数字小于5，选法有种.6. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对” 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有7. 试证. 。8已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1） 9. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 10. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？解 .11从0 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率；（2）取的至少有3个电话号码相同的概率.解 ； 12. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率（2）3名优秀生在同一个班的概率.解 基本事件总数有种(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为, 共有种, 所以 q =.13. 在单位园内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率.解: 在单位园内任取一点Q，并记Q点的坐标为(x，y)，由题意得样本空间，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，则事件，即由几何概率计算公式得 .14. 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB，（否则AB = 依互斥事件加法定理， P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 1与P (AB)1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)（1）从0P(AB)P(A)知，当AB=A，即AB时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当AB=时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 .15. 设A，B是两事件,证明: 证 .16. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=0.8+0.650.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%.17. 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.解 .18. 已知，求事件全不发生的概率.19某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率. 解 .20. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率. 解 =“第次取到正品” =1，2，3，4.21. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通, Ai表第i次拨号能接通.注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.22. 若，且，证明. 证 .23. 证明事件与互不相容，且01,则。证 .。24. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率. 解 设=取得的产品为正品， 分别为甲、乙、丙三厂的产品= ，=，=，所以 0.83.25. 某一工厂有三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是车间生产的概率.解 分别表示三车间生产的螺钉，=“表示次品螺钉” =同理 = ； =.26. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 =从人群中任取一人是男性， =色盲患者 因为 所以 .27.设是事件独立的充分必要条件.证 28. 设六个相同的元件,如下图所示那样安置在系统中,设每个元件正常工作的概率为,求这个系统正常工作的概率。假定各个能否正常工作是相互独立的.解: 设 ,，由条件知，.二十六（1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)29. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率. 解 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上三灯泡中最多有一个坏=三个全好+只有一个坏= (0.2)3+(0.2)2(10.2)=0.104. 30. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为, 求该射手的命中率.解 .31. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？ 解 设需要配置门高射炮=“高炮击中飞机”， 则 飞机被击中=门高射炮中至少有一门击中 =1门高射炮全不命中 至少配备6门炮.32. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率. 解 设=目标一次射击中被击毁=目标被击中的发数，（0，1，2，3，）则=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47=0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22=0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253.12