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第一章 随机事件及其概率

习题一
一、填空题
1．设样本空间，事件，则
, .
2. 连续射击一目标，表示第次射中，直到射中为止的试验样本空间，则
=.
3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 .
4．一批(个)产品中有个次品、从这批产品中任取个，其中恰有个个次品的概率是 .
5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .
6．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 0.68 .
7．已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,
(1) 当A,B互不相容时, P(A∪B)= 0.7; P(AB)= 0 .
(2) 当BÌA时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ；
8. 若,;;
=.
9. 事件两两独立, 满足,且P(A+B+C )=，
=0.25？？ .
10．已知随机事件的概率，随机事件的概率，及条件概率，则和事件的概率 0.7 .
12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 .
13. 已知 .
14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 .
15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 .
16. 一次试验中事件发生的概率为p, 现进行次独立试验, 则至少发生一次的概率为；至多发生一次的概率为 .
17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .
二、选择题
1．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件为（D）.
（A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B）“甲、乙两种产品均畅销”;
（C）“甲种产品滞销”; （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
2. 对于任意二事件（D）.

3. 如果事件A，B有BÌA，则下述结论正确的是（C）.
（A） A与B同时发生; （B）A发生，B必发生；
（C） A不发生B必不发生； （D）B不发生A必不发生.
4. A表示“五个产品全是合格品”，B表示“五个产品恰有一个废品”，C表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）.
5. 若二事件和同时出现的概率P()=0则（C）.
（A）和不相容； （B）是不可能事件；
（C）未必是不可能事件； （D）P()=0或P()=0.
6. 对于任意二事件和有 (C ).
(A) ; （B）;
（C）; （D）.
8. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.
(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A−B)=P(A).
9. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）.

10. 设为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是 (A ).
（A）; (B) ;
(C) ; (D) .
11. 设( B).
12. 设是任意两事件, 且, 则下列选项必然成立的是（B）.

13．设是任意二事件,且,,则必有（ C ）.
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) ．
14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）.

15. 设（D）.
(A) 事件互不相容； (B) 事件互相对立；
(C) 事件互不独立； (D) 事件相互独立.
16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）.

三、解答题
1.写出下列随机实验样本空间：
(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；
(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；
(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.
解 1（1）；
（2）；
（3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，
{00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111};
（4）其中分别表示三段之长.
2. 设为三事件，用运算关系表示下列事件：
（1）发生,和不发生； （2）与都发生, 而不发生；
（3）均发生； （4）至少一个不发生；
（5）都不发生； （6）最多一个发生；
（7）中不多于二个发生； （8）中至少二个发生.
解 （1）或A－ (AB+AC)或A－ (B+C)；（2）或AB－ABC或AB－C；（3）；（4）；（5）或；
（6）；（7）；（8）.
3．下面各式说明什么包含关系？
(1) ； (2) ； (3)
解 （1）； （2）； （3）
4. 设具体写出下列各事件：
(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5).
解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；
(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.
5. 从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字，
（1）求最小的数字为5的概率;
记“最小的数字为5”为事件A
∵ 10个数字中任选3个为一组：选法有种，且每种选法等可能.
又事件A相当于：有一个数字为5，其余2个数字大于5。这种组合的种数有
∴ .
（2）求最大的数字为5的概率。
记“最大的数字为5”为事件B，同上10个数字中任选3个，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一个数字为5，其余2数字小于5，选法有种
.
6. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵ 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

7. 试证.
。
8．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
解 （1）

9. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。
解
10. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？
解
.
11．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：
（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率；
（2）取的至少有3个电话号码相同的概率.
解 ；

12. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率（2）3名优秀生在同一个班的概率.
解 基本事件总数有种
(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =.
(2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为, 共有种, 所以 q =.
13. 在单位园内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率.
解: 在单位园内任取一点Q，并记Q点的坐标为(x，y)，由题意得样本空间
，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，则事件
，即
由几何概率计算公式得 .
14. 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？
解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，
P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 >1与P (A∪B)≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)
（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为
P(AB)=P(A)=0.6，
（2）从(*)式知，当A∪B=时，P(AB)取最小值，最小值为
P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 .
15. 设A，B是两事件,证明:
证
.
16. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75
P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.8+0.65−0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%.
17. 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.
解
.
18. 已知，求事件全不发生的概率.

.
19．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.
解
.
20. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率.
解 =“第次取到正品” =1，2，3，4.

21. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通, Ai表第i次拨号能接通.
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.

22. 若，且，证明.
证
.
23. 证明事件与互不相容，且0<<1,则。
证 .。
24. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.
解 设=｛取得的产品为正品｝， 分别为甲、乙、丙三厂的产品
= ，=，=，，
所以 0.83.
25. 某一工厂有三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是车间生产的概率.
解 分别表示三车间生产的螺钉，=“表示次品螺钉”

==
同理 = ； =.
26. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解 =｛从人群中任取一人是男性｝， =｛色盲患者｝
因为

所以 .

27.设是事件独立的充分必要条件.
证

28. 设六个相同的元件,如下图所示那样
安置在系统中,设每个元件正常工作的概率
为,求这个系统正常工作的概率。假定各个
能否正常工作是相互独立的.
解: 设 ,
，
由条件知，，，
.
[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2
4
1
3
A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)
= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立)

29. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率.
解 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

｛三灯泡中最多有一个坏｝=｛三个全好｝+｛只有一个坏｝
= (0.2)3+(0.2)2(1–0.2)=0.104.
30. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为, 求该射手的命中率.
解 .
31. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？
解 设需要配置门高射炮
=“高炮击中飞机”， 则
｛飞机被击中｝=｛门高射炮中至少有一门击中｝
=1–｛门高射炮全不命中｝

至少配备6门炮.
32. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.
解 设=｛目标一次射击中被击毁｝=｛目标被击中的发数｝，（0，1，2，3，）
则
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22
=0.2×0.3×0.5=0.03

所以 0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253.
12