浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题.doc

浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

年级：
姓名：

10

浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（1班）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交成角
C．异面成角 D．异面且垂直
3.如图所示，中,, ,与
相交于点,且,则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知是圆上的两个动点，且,
若为线段的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.设为抛物线:的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.直三棱柱中，，，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（　）
A. B. C. D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
9.下列命题正确的是( )
A.若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交,则另一直线也与这个平面相交.
B.若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,则另一直线也与这个平面平行.
C.过空间任意一点,可作一个平面与异面直线都平行.
D.若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面,则.
10.分别为中三个内角的对边,下列结论中正确的是( )
A.若,则为等腰三角形. B.若,则
C.若,则符合条件的有且仅有两个.
D.若,则为钝角三角形.
11．如图，是棱长为的正四面体，过的中心作一个与直线都平行的截面，则关于这个截面的说法中正确的是（ ）
A.截面与侧面的交线平行于侧面；
B.截面是一个三角形 ；
C.截面是一个矩形；
D.截面的面积为
12．若都是单位向量，且，
则可能的值为 ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知分别为中三个内角的对边，，
且,则的面积的最大值为_____
14.如图，在中，点是上的点，且,
且是的中点，与的交点为,又,
则实数
15.过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，
若是线段的中点，则椭圆的离心率为
16.已知是平面中的三个单位向量，且，则的最小值是____.

三、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知的内角的对边分别为，
设.
(1)求角的大小 （2）若，求.

18.（本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点是的中点，点在线段上运动（包括端点）
(1)求的最大值.
(2)是否存在实数，使？若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，
其中,平面,分别是的中点.
(1)求证：直线平面;
(2)求异面直线与所成角的大小.

20.（本小题满分12分）四面体中，，直线和所成的角为
,平面与四面体的棱分别相交于点,且四边形
恰为平行四边形；
（1）求证直线平面
（2）当平面变化时，求的面积的最大值.

21．（本小题满分12分）如图，是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且
（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若 ①求的取值范围；
②设，求的取值范围

22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率，过右焦点且
与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且,证明直线过一个定点，并求出这个定点 的坐标.
北仑中学2020学年第二学期高一年级期中考试数学试卷（评分标准）
（供高一（1）班使用）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
BCCA ADCD
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
9.AD 10.ABD 11.ACD 12.AB
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知的内角的对边分别为，
设.(1)求角的大小 （2）若，求.
解答：（1）
------------------4分
由于,所以--------------------------------------------5分
（2）

(其中),------------------------------8分
所以,所以------------------------------------10分
18. （本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点是的中点，点在线段上运动（包括端点）
（1） 求的最大值.
（2） 是否存在实数，使？若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

解答：(1)由题意可知：,设,则
，--------------------------2分
所以（其中），-----------------4分
所以时，-----------------------------------6分
（2） 由题意可知，
所以
（其中）---------------10分
所以------------------------------------12分

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，
其中,平面,分别是的中点.
（1） 求证：直线平面;
（2） 求异面直线与所成角的大小.
解答：（1）提示：可取的中点,先证明平面平面;
-----------------------------6分
(2) 异面直线与所成角的大小为.---12分

20、（本小题满分12分）四面体中，，直线和所成的角为,
平面与四面体的棱分别相交于点,且四边形恰为平行四边形；
（1）求证直线平面
（2）当平面变化时，求的面积的最大值.
解答（1）过程略
-------------------------6分
(2). 的面积的最大值.---------12分
21．（本小题满分12分）如图，是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且
（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若 ①求的取值范围；
②设，求的取值范围
解答：（1）-------------------------4分
（2）①求的取值范围为------------------8分
②的取值范围----------------12分
22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线
的斜率分别为，且,证明直线过一个定点，并求出这个定点
的坐标。
解答：（1）椭圆的方程-----------------4分
(2)直线过一个定点-----------------12分