内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二数学上学期自主检测试题-理.doc

内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二数学上学期自主检测试题 理

内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二数学上学期自主检测试题 理

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姓名：

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内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二数学上学期自主检测试题 理
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数等于( )
A. B. C. D.
2.若是的充分不必要条件，则是的（ ）
A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3. 定积分的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“∈Z”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ）
A. 2e B. C. 3 D.
7. 已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
8.已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（ ）
A. 6 B. 12 C. 36 D. 42
9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ）
A. -2 B. C. 1 D. 2
10.已知函数，则函数的大致图象是 （ ）
A．B． C．D．
11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A．2 B. C. D.
12.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的极大值点为　 　
14. 命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为　 　
15. 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________．
16. 设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(10分) 已知a∈R，复数z＝(a2+3a-4)－(a2－4a＋3)i
（1）为何值时，z为纯虚数？
（2）为何值时，复数z对应点位于第四象限？

18.(12分) 已知椭圆的一个焦点为，设椭圆的焦点为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点.
（1）求的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，求.
19.（12分） 已知函数
（I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
20.（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．

21.（12分） 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.
22.（12分） 已知(e为目然对数的底数).
(1)设函数，求函数的最小值；
(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.

2020-2021学年高二（上）数学试卷（普通班）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数等于( )
A. B. C. D. 【答案】C
2.若是的充分不必要条件，则是的（ ）
A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B
3. 定积分的值为（ ）答案　A
A. B. C. D.
4. 等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“∈Z”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A
5. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）
A. B. C. D. 答案　B
6.已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ）
A. 2e B. C. 3 D.
【答案】B 【详解】由题意，，所以，
因此，所以，故.故选：B
7. 已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A. B．－ C. D．－ 答案　D
8.已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（ ）
A. 6 B. 12 C. 36 D. 42 【答案】C
根据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.∵，∴.
不妨设P在第一象限，则，∴.
∴故选：C.
9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ）
A. -2 B. C. 1 D. 2【答案】C
试题分析：根据题意可知：，两曲线在点处由公共的切线，所以即：，代入解得：，所以答案为C．
10.已知函数，则函数的大致图象是 （ A ）
A．B． C．D．
11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A．2 B. C. D. 答案　D
12.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的极大值点为　 　-1
14. 命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为　 　
15. 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________． 答案　
16. 设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________． 【答案】
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(10分) 已知a∈R，复数z＝(a2+3a-4)－(a2－4a＋3)i
（1）为何值时，z为纯虚数？ -4
（2）为何值时，复数z对应点位于第四象限？
18.(12分) 已知椭圆的一个焦点为，设椭圆的焦点为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点.
（1）求的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，求.
解：（1）由椭圆的一个焦点为，得.
设椭圆的方程为，则，①又，②
由①②解得，所以椭圆的方程为.
（2）由，消去整理得，
设，则，
所以。
19.（12分） 已知函数
（I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
【解析】（I）
当且仅当时取“=”号，单调递增。

当变化时，、的变化如下表：

—1

+
0
—
0
+

极大值

极小值

（II）当恒成立。
由（I）可知
若上单调递减，上不单增，不符合题意；
综上，a的取值范围是[0，1]

20.（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3∠ACB＝，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．

【解析】(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，得PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.
(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过点D作DF⊥CE于点F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2. 由∠ACB＝，得DF∥AC，所以＝＝，故AC＝DF＝.
以C为坐标原点分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(0,0,3)，
A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝.
设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得
故可取n1＝(2,1,1)． 由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1,0)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝，故所求二面角A－PD－C的余弦值为.

21.（12分） 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.
【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.
（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；
（2）设，，、.
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，
与抛物线方程联立得到，消去，得，则由韦达定理得，.
，，
，，即，
显然，，，，
则点，同理可求得点的坐标为，
所以，，
，因此，以为直径的圆过原点.
22.（12分） 已知(e为目然对数的底数).
(1)设函数，求函数的最小值；
(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2).
（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，
令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，
故函数g（x）在（0，1）单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；
（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，
∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．