2021-2022版高中数学-第三章-不等式-3.1.1-不等关系与比较大小学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.1.1 不等关系与比较大小学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.1.1 不等关系与比较大小学案 新人教A版必修5年级：姓名：第三章 不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小 学习目标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识自主学习】导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?1.不等式的相关概念(1)不等号:,;(2)不等式:由不等号表示的关系式. (1)“”的含义是什么?提示:b或a=b,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则ab正确.不等式ab应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b”,即若aba-b0ab如果a-b等于零,那么a=ba-b=0a=b如果a-b是负数,那么aba-b0ab?提示:证明a-b是正数,即a-b0.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x1,则ab.()提示:(1).用不等式表示为x3.(2).不等式55表示5=5或55,因为5=5成立,所以不等式55成立.(3).如=21,但是-2-1.2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为()A.T60C.T60D.T60【解析】选C.“限重60吨”即为T60.3.已知x1,则x2+2与3x的大小关系为.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x1,所以x-20,x-10,所以x2+23x.答案:x2+23x【关键能力合作学习】类型一利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为.2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式.【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v40 km/h .答案:v40 km/h2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为ab;A容器不小于B容器的容积可表示ab.答案:abab3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2ab.1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言a0),若再加入m克糖(m0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为.【解析】因为b克糖水中含a克糖(0a0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以.答案:2 200,即96(x+20)2 200.原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x9(x-12).答案:96(x+20)2 2008x9(x-12)类型二用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;车队每天至少要运360 t矿石;甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则即用不等式组表示不等关系的三注意(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为.【解析】根据题意得: 答案:2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:家电名称空调彩电冰箱工时/h若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.【解析】由题意,知x0,y0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以x+y+(120-x-y)40,即3x+y120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y20,即x+y100.所以满足题意的不等式组为【拓展延伸】列不等式组表示不等关系 (1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得x”,“超过”即“”,所以答案:2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(kN*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为.【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(kN*).答案:(kN*)类型三比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1作差法比较大小【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+10,所以f(x)g(x).本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+10,xg(x) ;当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1时,f(x)0,b0且ab,比较aabb与(ab的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.【解析】因为a0,b0且ab,所以=,当 ab0时,1,0,1,此时aabb(ab;当 ba0时,1,1,此时aabb(ab,综上所述aabb(ab.1.关于作差法比较大小对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.1.已知a0,b0,且ab,比较+与a+b的大小.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a0,b0,ab,所以(a-b)20,a+b0,ab0.所以-(a+b)0,所以+a+b.2.设a0,b0,且ab,试比较aabb,abba的大小.【解析】因为=aa-bbb-a=,(1)若0ab,则01,a-b1,(2)若0b1,a-b0;故1.综上,aabbabba.【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小.【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+=.因为a,b为正实数,所以+0,0,(-)20,所以0,当且仅当a=b时等号成立.所以+(当且仅当a=b时取等号).方法二:(作商法)=1+1,当且仅当a=b时取等号.因为+0,+0,所以+(当且仅当a=b时取等号).方法三:(平方后作差)因为=+2,(+)2=a+b+2,所以-(+)2=.因为a0,b0,所以0,当且仅当a=b时取等号.又+0,+0,故+(当且仅当a=b时取等号).【补偿训练】(1)已知abc0,试比较与的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-=.因为abc0,所以a-b0,ab0,a+b-c0.所以0,即.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为0,所以+0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)0,所以2x2+5x+3x2+4x+2.【课堂检测素养达标】1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是()A.a-b0B.a+b|b|D.a-b0【解析】选D.a0,b0.2.已知aR,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为()A.pqB.pqC.pq【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=10,所以pq.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为.【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x1 000.答案:x1 0004.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为.【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x20.答案:x20【新情境新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为.【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则cf(1)f(2).答案:cf(1)f(2)