2021-2022版高中数学-第三章-不等式-3.1.1-不等关系与比较大小学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.1.1 不等关系与比较大小学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.1.1 不等关系与比较大小学案 新人教A版必修5

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第三章 不等式
3.1　不等关系与不等式
第1课时　不等关系与比较大小　
学习
目标
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)
2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)
3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【必备知识·自主学习】
导思
1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?
2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?
1.不等式的相关概念
(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;
(2)不等式:由不等号表示的关系式.

(1)“≤”的含义是什么?
提示:<或=.
(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?
提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.
2.实数a,b大小的比较
如果a-b是正数,那么a>b
a-b>0⇔a>b
如果a-b等于零,那么a=b
a-b=0⇔a=b
如果a-b是负数,那么a<b
a-b<0⇔a<b

　怎样证明a>b?
提示:证明a-b是正数,即a-b>0.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. (　　)
(2)不等式5≥5不成立. (　　)
(3)若>1,则a>b. (　　)
提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.
(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.
(3)×.如=2>1,但是-2<-1.
2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为 (　　)
A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60
【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.
3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为　　　　. 
【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,
所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.
答案:x2+2>3x
【关键能力·合作学习】
类型一　利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)

1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为　　　　. 
2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为　　　　;　　　　;　　　　. 
3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.

【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式.
【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40 km/h .
答案:v≤40 km/h
2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为a<b;甲物体比乙物体重可表示为a>b;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.
答案:a<b　a>b　a≥b
3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.
设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.

1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言
大于,高于,
超过
小于,低
于,少于
大于等于,
至少,不低于
小于等于,
至多,不超过
符号
语言
>
<
≥
≤
【补偿训练】
1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为　　　　. 
【解析】因为b克糖水中含a克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为,所以若在该糖水中加入m(m>0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.
答案:<
2.一辆汽车原来每小时行驶x km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20 km,那么在4天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为　　　　;如果它每小时行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为　　　　　　. 
【解析】①原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2 200 km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2 200,即96(x+20)>2 200.
②原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,
则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).
答案:96(x+20)>2 200　8x>9(x-12)
类型二　用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)
【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;
②车队每天至少要运360 t矿石;
③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.
【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,
则即

用不等式组表示不等关系的三注意
　(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.
(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.
(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.

1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为　　　　. 
【解析】根据题意得:
答案:
2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时/h

若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.
【解析】由题意,知x≥0,y≥0,
每周生产冰箱(120-x-y)台.
因为每周所用工时不超过40 h,
所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.
又每周至少生产冰箱20台,
所以120-x-y≥20,即x+y≤100.
所以满足题意的不等式组为
【拓展延伸】列不等式组表示不等关系
(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;
(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.
【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.
【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得<x<.
因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.
【补偿训练】
1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为　　　　. 
【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以
答案:
2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为　　　　. 
【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N*).
答案:(k∈N*)
类型三　比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模)
　角度1　作差法比较大小 
【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是 (　　)
A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)>g(x) D.随x值变化而变化
【思路导引】作差,根据差的正负判断.
【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).

　本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.
【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)
=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x) ;
当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);
当-2x+1<0,x>时,f(x)<g(x).
　角度2　作商法比较大小 
【典例】已知a>0,b>0且a≠b,
比较aabb与(ab的大小.
【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.
【解析】因为a>0,b>0且a≠b,
所以==,
当 a>b>0时,>1,>0,>1,
此时aabb>(ab;
当 b>a>0时,<1,<0,>1,
此时aabb>(ab,综上所述aabb>(ab.

1.关于作差法比较大小
对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.
2.关于作商法比较大小
多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.

1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
【解析】因为-(a+b)
=-b+-a=+
=(a2-b2)=(a2-b2)
=,又因为a>0,b>0,a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.
所以-(a+b)>0,所以+>a+b.
2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb,abba的大小.
【解析】因为=aa-b·bb-a=,
(1)若0<a<b,则0<<1,a-b<0;
故>1,
(2)若0<b<a,则>1,a-b>0;
故>1.
综上,aabb>abba.
【拓展延伸】
作差法比较大小的一般步骤
第一步:作差;
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;
第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);
最后得结论.
概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.
【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小.
【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.
【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+==.
因为a,b为正实数,所以+>0,>0,
(-)2≥0,
所以≥0,
当且仅当a=b时等号成立.
所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).
方法二:(作商法)==
　==
==1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,
所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).
方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,
所以-(+)2=.
因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.
又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号).
【补偿训练】
(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
【解析】(1)-=
==
=.
因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.
所以>0,即>.
(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,
所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
【课堂检测·素养达标】
1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是 (　　)
A.a-b≤0 B.a+b<0
C.|a|>|b| D.a-b>0
【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.
2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为 (　　)
A.p≤q B.p≥q C.p<q D.p>q
【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,
所以p>q.
3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为　　　　. 
【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x≥1 000.
答案:x≥1 000
4.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为　　　　. 
【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.
答案:x≥20
【新情境·新思维】
　已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为　　　　. 
【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c<f(1)<f(2).
答案:c<f(1)<f(2)