马鞍山市第二高二数学上学期期末考试试题-理.doc

安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2. ①；
②设，命题“的否命题是真命题；
③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件； 则其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，则 （ ）
A． B． C．- D．0
4．若抛物线上横坐标是2的点到抛物线焦点距离是3，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5. 已知两定点F1(-1,0) 、F2(1,0), 则命题甲：是与的等差中项,命题乙：动点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的 ( ).

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则△周长的最小值是( )
A．14 B．16 C．18 D．20
C
A
D
B
7.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在
这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱， ，则这个二面角的度数为（ ）
A． B． C． D．

8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线C的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
9．是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，则的值为（ ）
A. 33 B.33或1 C. 1 D. 25或9
10．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是（ ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定

第Ⅱ卷

二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．
12．若函数有两个零点，则a应满足的充要条件是
13．已知为椭圆的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足的点共有 个
14.在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在
边上，则这个椭圆的焦距为 ．
15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；
②已知圆上一定点和一动点，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；
③，则双曲线与的离心率相同；
④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.

三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(本小题满分12分) 已知曲线C: ,求曲线C 在x
轴上的所截的线段的长度为1的充要条件，证明你的结论。

17．(本小题满分12分) 已知命题p： 表示焦点在轴的双曲线，
命题q： 是增函数，
若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.

18．(本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长； （2）求cos< >的值；[来 （3）求证：A1B⊥C1M.

A
N
M
C
B

19．(本小题满分13分)椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
(1）请探求与的关系；

(2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．

20.（本小题满分13分）如图，在正三棱柱中，已知，，是的中点，在棱上．
（I）求异面直线与所成角；
（II）若平面，求长；
（III）在棱上是否存在点，使得二面角的大小等于，若存在，求 的长；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分13分）已知经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、 两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数．
（I）求与的值；
（II）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，说明理由．

马鞍山市第二中学2014—2015学年度
第一学期期终素质测试
高二（理）数学试题答卷纸
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（每小题5分，共25分）

11． 　　　　 ； 12． 　 ； 13． 　　 ；

14．_________ ； 15. ；

三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(本小题满分12分)
解：

17．(本小题满分12分)
解：

A
N
M
C
B

18．(本小题满分12分)
解：

19．(本小题满分13分)
解：

20.（本小题满分13分）
解：

21．（本小题满分13分）
解：

马鞍山市第二中学2014—2015学年度
第一学期期终素质测试
高二（理）数学试题参考答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
A
C
B
A
A
B

三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(本小题满分12分)
解： 必要性：令y=0，则

充分性：
有两根为，且

故所求的充要条件是。
17．(本小题满分12分)
解：由表示焦点在轴的双曲线得
即： 得
是增函数，须5－2m>1即m<2
由于p或q为真命题，p且q为假命题 故p、q中一个真，另一个为假命题 。
若p真q假，此时m的解集为空集
若p假q真,则，
因此，，
18．(本小题满分12分) 解：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，
·=3，||=，||=
∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，
={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥， ∴A1B⊥C1M.
19．（本小题满分13分）
解：（1）由题设，得， 由椭圆定义，所以，．
设，，，：，代入椭圆的方程，整理得
，（*）
则
，
于是有， 化简，得， 故 ．
(2）由（1）有，方程（*）可化为
设中点为，则，
又，于是． 由知为的中垂线，，
由，得，解得，，
故，椭圆的方程为．
20.（本小题满分13分） 解：方法1：（I）取中点，建立如图所示坐标系，
则，，
，，，设，
∴，，，
∵，∴异面直线与所成角是；
（II）设是面的法向量，则，得，
∵平面，∴，∴，即；
（III）∵是平面的法向量，
∴，即，解得，

∵点在棱上，∴，而，∴在棱上的点是不存在的．
方法2：（I）∵是的中点，∴面，
∴，异面直线与所成角是；
（II）取中点，建立如图所示坐标系，
则，，
，，，设，
∴，，，
∵平面，∴存在唯一的使得，
∴，∴，即；
（III）设是面的法向量，则，得，
∵是平面的法向量，
∴，即，解得，
∵ 点在棱上，∴，而，∴ 在棱上的点是不存在的．

21．（本小题满分13分）
解（I）∵直线经过抛物线的焦点为， ∴，∴，
直线代入得，设，，
则，，∵得无论怎样运动，直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数，
∴无论、怎样变化，总有，即
∵，∴；
（II）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称，
∵，∴要使，则必在轴上，设点，
直线不垂直于轴时，设，设，，
代入得，
∴，，
∵，∴直线的斜率与的斜率互为相反数，
即，

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