4、f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A. B.
C. D.
C [因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，
当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，
即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，
当≤x≤时，函数f(x)为减函数，
所以＝，所以ω＝.]
二、填空题
6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________．
[当－＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z时ymax
＝1，所以函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合为.]
7．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________．
[由0≤x
5、≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin ≤1，
即－≤3sin ≤3.]
8．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (k∈Z) [由题意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其递增区间为(k∈Z)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝sin ，x∈[0，π]；
(2)y＝sin x.
[解] (1)由y＝－sin 的单调性，
得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.令k＝0则≤x≤
6、
又x∈[0，π]，故≤x≤π.
即单调递增区间为.
(2)由sin x>0，得
2kπ0)的递减区间．故函数y＝sin x的递增区间为.
10．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解] (1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ
7、－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
1．(多选题)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
ABC [∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos x在上是减函数，则y＝－cos x在上是增函
8、数，即B正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos x为偶函数，即D不正确．]
2．函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为( )
A. B．1
C. D.
A [∵＋＝，
∴f(x)＝ sin ＋cos
＝sin ＋cos
＝sin ＋sin
＝sin ≤，
∴f(x)max＝.]
3．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最小值为________，最大值为________．
－ [令t＝cos x，x∈，∴t∈，
y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上单调递减．
∴ymax＝32－＝，ymi
9、n＝32－＝－.]
4．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，得⊆，从而有解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.]
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系．
[解] 由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在上为增函数，
所以sin α＞sin＝cos β，
且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，
所以f(sin α)＞f(cos β)．
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