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第十一章   机械振动
教师:丁老师
学生:刘焱妮
 时间:2013。4.10

一） 知识要点：机械振动定义、简谐振动概念、振动中的周期、频率、振幅、位移、速度、加速度、恢复力等个物理量之间的关系。
二） 难点:有速度位移图像求其周期、平率，速度、加速度等。
【基本知识体系】
1）机械振动：
物体(质点)在某-中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动,物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力：以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力.
振动的必要条件：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。
 （二）简谐振动
1. 定义：物体在受恢复力的作用，且恢复力与位移成正比，并且总是指向平衡位置的振动叫简谐振动.简谐振动是最简单，最基本的振动。

2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
[练习题]
1。 简谐运动是下列哪一种运动( ）
A. 匀变速运动 B。 匀速直线运动
C。 变加速运动 D. 匀加速直线运动
2。 如图所示，振子以O为平衡位置在M、N之间做简谐运动，下列叙述中不正确的是 （ ）
A。 振子在M点时速度为零
B. 振子在O点时的速度最大
C。 振子经过O点时加速度改变方向
D. 振子经过O点时速度改变方向
3. 做简谐运动的物体向平衡位置运动时，速度越来越大的原因是（ ）
A. 回复力对物体做了正功
B. 物体惯性的作用
C. 物体的加速度与速度同向
D。 弹簧的势能转变为动能

3。 简谐振动中的物理量：
简谐振动是一种机械运动，它的位移、回复力、速度、加速度、动能和势能都随时间做周期性变化。
①位移：离开平衡位置的距离，有正负之分，最大位移叫振幅(标量，常用A表示)
②恢复力:方向与位移相反，大小与位移成正比(F=-kx）(注:简谐振动的条件）
③加速度:与位移方向相反，大小与位移成正比。⑧⑨
④速度：在平衡位置时最大，位移最大时最小，在运动中大小和方向均会改变。
⑤动能与势能： 与振幅的大小有关，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
⑥振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A"表示,标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，
⑦周期和频率：周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。两者关系：T=1/f。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量,与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
小试身手
例题3、物体做简谐运动，每当物体到达同一位置时,保持不变的物理量有( )
A。 速度 B. 加速度 C. 动量 D. 动能

2、一个弹簧振子,第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1∶T2为（ ） 
A．1∶1       B．1∶2 C．2∶1           C．1∶4
3。 做简谐运动的物体向平衡位置运动时,速度越来越大的原因是（ )
A. 回复力对物体做了正功 B. 物体惯性的作用
C。 物体的加速度与速度同向 D。 弹簧的势能转变为动能
4. 振动物体做一次全振动的是( ）
A。 从某一位置再到这一位置时
B。 从某一速度再到这一速度时
C. 从某一加速度再到这一加速度时
D。 从某一位置再到这一位置及具有与前一次有相同的速度时

5。 弹簧振子做简谐振动,当振子位移为负时,下述说法中正确的是（ ）
A. 速度一定为正，加速度一定为正
B. 速度一定为负，加速度一定为正
C。 速度不一定为正，加速度一定为正
D. 速度不一定为负，加速度一定为负

6. 做简谐振动的质点，下述说法中正确的是( )
A。 速度增大时，加速度减小 B. 速度增大时,加速度增大
C。 加速度增大时,速度减小 D。 加速度减小时，速度减小
7 做简谐振动的弹簧振子，下述说法中正确的是（ ）
A。 简谐运动的平衡位置就是振子所受合力为零的位置
B. 振子先后通过同一点时，回复力、速度、加速度都是相同的
C. 振子连续两次通过同一位置时，位移相同,加速度相同
D。 振子连续两次通过同一位置时,动能相同,动量相同
8。 质点做简谐振动，关于其回复力的下述说法中正确的是（ ）
A。 一定是物体所受的力的合外力
B. 可能是物体所受某些力的合力，也可能是某一个力的分力
C. 回复力的方向总指向平衡位置，因而回复力的大小变化而方向不变
D。 回复力随时间成正比变化
9。 小球做简谐振动，则下述说法中正确的是（ ）
A。 小球所受的回复力大小与位移成正比，方向相反
B。 小球加速度的大小与位移成正比，方向相反
C. 小球速度的大小与位移成正比,方向相反
D。 小球速度的大小与位移成正比，方向可能相同也可能相反

10。 如图所示,弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动,O为平衡位置,A、B为其最大位移处,当振子经过P点时开始计时，即t=0,则下述说法中正确的是（ )
A. 当振子的速度再次与0时刻相同时,则弹簧振子经过的时间一定是一个周期
B。 当振子第二次通过P点时，振子的速度一定与0时刻的速度相同
C。 当振子经过P点时，其加速度与速度均与0时刻相同
D. 当振子经过P点时，其加速度与0时刻相同，而速度不一定相同

11. 如图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动,经过时间t后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为（ ）
A. 0 B. v/2 C. F/（kt）
D。 不为零的某值，但由题设条件无法求出

（四） 单摆：
定义：细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球,忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆.
单摆做简谐振动的条件:最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。
单摆的周期公式:T=。
由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关,只与L和g有关，其中L是摆长,是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。
 (五)振动图象.
简谐振动的图象：振子振动的位移—-时间变化的函数图象。
所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。
图象是正弦或余弦函数图象,它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律.
从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况
（六）阻尼振动、受迫振动、共振。
阻尼振动：由于受到阻力作用，振幅逐渐减小的振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动.
振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动,那么它做受迫振动
注：受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。
共振:物体做受迫振动的振幅与策动力的周期(频率）和物体的固有周期（频率)有关，二者相差越小,物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。
小试身手

1。 在图中能正确反映简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图象是（ ）

2。 如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上,它们之间的最大静摩擦力为f，在劲度系数为k的轻弹簧的作用下，沿光滑水平面做简谐运动.为使小车能跟木块一起运动，不发生相对滑动,机械运动的振幅不能大于（ )
A。 B。
C。 D。

3. 一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中,（ )
A. 升降机的速度不断减小
B。 升降机的加速度不断变大
C。 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

机械振动 能力提升
一、选择（不定项）
［例1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0）相同，那么,下列说法正确的是(    )
A. 振子在M、N两点受回复力相同
B. 振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C. 振子在M、N两点加速度大小相等
D。 从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

[例2］ 一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？ 0.72 s和0.24 s

[例3] 甲、乙两弹簧振子,振动图象如图所示，则可知（    ）
A. 两弹簧振子完全相同
B。 两弹簧振子所受回复力最大值之
比F甲∶F乙=2∶1
C。 振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D。 振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2

［例4] 在海平面校准的摆钟，拿到某高山山顶，经过t时间,发现表的示数为t′，若地球半径为R，求山的高度h（不考虑温度对摆长的影响）.

[例5］ 在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球.开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动。试问小球是否作简谐运动? 是

［例6］ 如图所示,一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置.现将重球（视为质点）从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是(    ）
A. 重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动.
B. 重球下落至b处获得最大速度.
C. 重球下落至d处获得最大加速度。
D。 由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于
小球由c下落至d处时重力势能减少量。
[例7］ 若单摆的摆长不变，摆角小于5°,摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（    )
A。 频率不变，振幅不变     B. 频率不变，振幅改变
C. 频率改变，振幅改变         D。 频率改变,振幅不变

模拟试题
一. 选择题
1. 弹簧振子作简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻也为v，且方向相同.已知（t2－t1）小于周期T,则（t2－t1）（   ）
A。 可能大于四分之一周期       
B. 可能小于四分之一周期
C。 一定小于二分之一周期       
D。 可能等于二分之一周期

2。 有一摆长为L的单摆,悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，（悬点和小钉未被摄入）,P为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为(   )
A. L/4    B. L/2   C。 3L/4    D. 无法确定

3。 A、B两个完全一样的弹簧振子，把A振子移到A的平衡位置右边10cm，把B振子移到B的平衡位置右边5cm,然后同时放手，那么（   ）
A。 A、B运动的方向总是相同的           
B。 A、B运动的方向总是相反的
C。 A、B运动的方向有时相同、有时相反   
D。 无法判断A、B运动的方向的关系

4. 在下列情况下，能使单摆周期变小的是（    )
A。 将摆球质量减半，而摆长不变
B。 将单摆由地面移到高山
C。 将单摆从赤道移到两极
D. 将摆线长度不变，换一较大半径的摆球

5。 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成20次全振动用15s,在某电压下,电动偏心轮转速是88 r/min,已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，要使筛子的振幅增大，下列做法中，正确的是（  )
A. 降低输入电压        B. 提高输入电压  
C。 增加筛子的质量      D。 减小筛子的质量

6。 一质点作简谐运动的图象如图所示,则该质点(    )
A. 在0。015s时，速度和加速度都为－x方向。
B。 在0。01至0。03s内,速度与加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后增大,加速度是先增大后减小。
C. 在第八个0.01s内,速度与位移方向相同，且都在不断增大。
D。 在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零.

7. 摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时,（取作t=0),当振动至  时,摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的(    ）

9。 甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过2.0S观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过3.0S观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期可能是(   ）
A. 0.5S                   B. 1.0S                 C. 2.0S                D. 3.0S

10。 关于小孩子荡秋千，有下列四种说法：
① 质量大一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大些 
② 孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉 
③ 拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断开 
④ 自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能.上述说法中正确的是(    ）
A。 ①②         B. ③④                 C. ②④                D。 ②③
二。 填空题
11。 如图所示，质量为m的物块放在水平木板上，木板与竖直弹簧相连，弹簧另一端固定在水平面上,今使m随M一起做简谐运动,且始终不分离，则物块m做简谐运动的回复力是由              提供的，当振动速度达最大时，m对M的压力为           。

12. 如图所示为水平放置的两个弹簧振子A和B的振动图像，已知两个振子质量之比为mA :mB=2:3，弹簧的劲度系数之比为kA：kB=3:2,则它们的周期之比TA：TB＝        ；它们的最大加速度之比为aA:aB＝    。

13. 有一单摆，当它的摆长增加2m时,周期变为原来的2倍。则它原来的周期是

14。 某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为101。00cm，摆球直径为2。00cm,然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s.则:
（1)他测得的重力加速度g =         m/s2（计算结果取三位有效数字）
（2）他测得的g值偏小，可能原因是：           
A. 测摆线长时摆线拉得过紧。
B. 摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动，使摆线长度增加了。
C. 开始计时时,秒表过迟按下。
D。 实验中误将49次全振动计为50次.
（3)为了提高实验精度,在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T,从而得出一组对应的l和T的数值,再以l为横坐标、T2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率K。则重力加速度g =            。（用K表示）

三。 计算题
15。 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
（1）振动的周期和频率; T=1s f=1Hz
(2）振子在5 s内通过的路程及位移大小;200cm 10cm
（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。5：2

 18. 两个单摆摆长相同，一个静止于地面，一个个静止在悬浮于高空的气球中。地面上的单摆摆动了n次全振动时,气球中的单摆摆动了n－1次全振动。已知地球半径为R,求气球的高度？
 H=R/(n-1)

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