高三理科数学培养讲义：第2部分-专题5-第10讲-直线与圆.doc

第10讲直线与圆高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：圆的方程及应用2017全国卷T20；2015全国卷T7分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.题型2：直线与圆、圆与圆的位置关系2018全国卷T6；2017全国卷T12；2016全国卷T4；2014全国卷T16题型1圆的方程及应用核心知识储备1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆3以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.高考考法示例【例1】(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. BC D(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(1)B(2)(x2)2y29(1)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.方法归纳解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.对点即时训练1与直线xy40和圆x2y22x2y0都相切的半径最小的圆的方程是( )A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)24C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)24C法一：圆x2y22x2y0的圆心为(1,1)，半径为，过圆心(1,1)与直线xy40垂直的直线方程为xy0，所求的圆心在此直线上，故排除选项A、D；又圆心(1,1)到直线xy40的距离为3，则所求圆的半径为，故排除选项B，故选C法二：设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线xy40的左上方，结合法一可知，且ab0，解得a1，b1(a3，b3不符合，舍去 )，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22，选C2圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_(x2)2(y1)24设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.综上，解得a2，b1，r2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.3设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_(x1)2(y)21由题意知该圆的半径为1，设圆心C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)由题意知与的夹角为120，得cos 120，解得a.所以圆的方程为(x1)2(y)21.题型2直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识储备1直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交，0相离，0相切(2)几何方法：设圆心到直线的距离为d，则dr相离，dr相切2弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|2(其中d为弦心距)(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|(其中C为圆心)高考考法示例角度一圆的弦长问题【例21】(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.4由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.角度二切线问题【例22】(1)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|( )A2B4C6D2(2)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_(1)C(2)或(1)易知圆的标准方程C：(x2)2(y1)24，圆心C为(2,1)又因为直线l：xay10是圆的对称轴，则直线l一定经过圆心，得知a1，则A(4，1)又因为直线AB与圆相切，则CAB为直角三角形，|AC|2，|BC|2，|AB|6.故选C(2)由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.又因为光线与圆(x3)2(y2)21相切，所以1，整理得12k225k120，解得k或k.角度三位置关系的判断及其应用【例23】已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.方法归纳直线(圆)与圆的位置关系的解题思路1讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较2直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算对点即时训练1若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )A(，) B，CDD设直线l的方程为yk(x3)，代入圆的方程中，整理得，(k21)x2(6k22)x9k20，4(13k2)0，解得k，故选D.2(2018太原一模)已知在圆x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A3B6C4D2D将圆的方程化为标准方程得(x2)2(y1)25，圆心坐标为F(2，1)，半径r，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|，|BD|22，S四边形ABCD|AC|BD|2.故选D.3(2018沈阳模拟)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( )A54B54C53D53B由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.故选B.高考真题1(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABCD2A由圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3A圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,63(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.最新模拟4(2018重庆月考)已知直线l：x2y40，圆C：(x1)2(y5)280，那么圆C上到l的距离为的点一共有( )A1个B2个C3个D4个C由圆C：(x1)2(y5)280，可得圆心C(1，5)，半径R4， 又圆心C(1，5)到直线x2y40的距离d3， 如图所示，由图象可知，点A，B，D到直线x2y40的距离都为，所以圆C上到l的距离为的点一共3个，故选C5(2018沈阳模拟)已知圆C的方程为x22xy20，直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，则当ABC面积最大时，直线l的斜率k( )A1B6C1或7D2或6C圆的方程可化为(x1)2y21，直线可变形为yk(x2)2，即圆心为(1,0)，半径r1，直线过定点(2,2)，由面积公式SABCr2sin sin ，(ACB)所以当时，即点到直线距离为时取最大值，此时d，解得k1或7，选C 11 / 11