高三理科数学培养讲义：第2部分-专题5-第10讲-直线与圆.doc

第10讲　直线与圆
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：圆的方程及应用
2017全国卷ⅢT20；2015全国卷ⅡT7
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.
题型2：直线与圆、圆与圆的位置关系
2018全国卷ⅢT6；2017全国卷ⅢT12；2016全国卷ⅡT4；2014全国卷ⅡT16

题型1　圆的方程及应用
■核心知识储备·
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．
3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
■高考考法示例·
【例1】　(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　 )
A.　 B．　　　C．　 D．
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(1)B　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，
故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]
[方法归纳]　解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
■对点即时训练·
1．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　 )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C　[法一：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆心在此直线上，故排除选项A、D；又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求圆的半径为，故排除选项B，故选C．
法二：设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝0的左上方，结合法一可知＝，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合，舍去 )，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，选C．]
2．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4　[设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.综上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]
3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
(x＋1)2＋(y－)2＝1　[由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)．又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)．
由题意知与的夹角为120°，得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]
题型2　直线与圆、圆与圆的位置关系
■核心知识储备·
1．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．
2．弦长与切线长的计算方法
(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)．
(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．
■高考考法示例·
►角度一　圆的弦长问题
【例2－1】　(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
4　[由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.

由|AB|＝2得2＋()2＝12，
解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]
►角度二　切线问题
【例2－2】　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　 )
A．2　 B．4　　　
C．6　 D．2
(2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
(1)C　(2)－或－　[(1)易知圆的标准方程C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C为(2,1)．又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则直线l一定经过圆心，得知a＝－1，则A(－4，－1)．又因为直线AB与圆相切，则△CAB为直角三角形，|AC|＝＝2，|BC|＝2，|AB|＝＝6.故选C．
(2)由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.]
►角度三　位置关系的判断及其应用
【例2－3】　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
[解]　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，
由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，
将y＝x＋代入＋＝1，
并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，
由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.
[方法归纳]　直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
1．讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
2．直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算．
■对点即时训练·
1．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　 )
A．(－，) B．[－，]
C． D．
D　[设直线l的方程为y＝k(x－3)，代入圆的方程中，整理得，(k2＋1)x2－(6k2＋2)x＋9k2＝0，Δ＝4(1－3k2)≥0，解得－≤k≤，故选D.]
2．(2018·太原一模)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　 )
A．3 B．6
C．4 D．2

D　[将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝＝，|BD|＝2＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2.故选D.]
3．(2018·沈阳模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　 )
A．5－4 B．5－4
C．5－3 D．5－3
B　[由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min＝5－4.故选B.]

[高考真题]
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－　　　　　 B．－
C． D．2
A　[由圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]
2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
A　[圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
[解]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，
所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，
圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，
圆M的方程为2＋2＝.
[最新模拟]
4．(2018·重庆月考)已知直线l：x－2y＋4＝0，圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，那么圆C上到l的距离为的点一共有(　　 )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C　[由圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，可得圆心C(1，－5)，半径R＝4， 又圆心C(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝＝3， 如图所示，由图象可知，点A，B，D到直线x－2y＋4＝0的距离都为，

所以圆C上到l的距离为的点一共3个，故选C．]
5．(2018·沈阳模拟)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝(　　 )
A．1 B．6
C．1或7 D．2或6
C　[圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，直线可变形为y＝k(x－2)＋2，即圆心为(1,0)，半径r＝1，直线过定点(2,2)，由面积公式S△ABC＝r2sin θ＝sin θ≤，(∠ACB＝θ)
所以当θ＝时，即点到直线距离为时取最大值，此时d＝＝，解得k＝1或7，选C．]

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