2021-2022学年高中数学-第五章-三角函数-5.4.2-第1课时-周期性与奇偶性课后训练巩固提.docx

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

第1课时　周期性与奇偶性
课后训练巩固提升
A组
1.对于函数y=cosπ2-2x,下列命题正确的是(　　)
A.周期为2π的偶函数 B.周期为2π的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数
解析:因为函数y=cosπ2-2x=sin2x,所以周期为T=2π2=π,且y=sin2x是奇函数.
答案:D
2.下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=sin 2x B.y=-sin x
C.y=sin|x| D.y=sin x+1
解析:选项A和选项B都是奇函数,选项D是非奇非偶函数.因为y=sin|x|的定义域为R,且f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以y=sin|x|是偶函数,选项C是偶函数.
答案:C
3.下列函数中,周期为2π的是(　　)
A.y=sin x2 B.y=sin 2x
C.y=sinx2 D.y=|sin 2x|
解析:y=sinx2的周期为T=2π12=4π;y=sin2π的周期为T=2π2π;
y=sinx2的周期为T=2π;y=|sin2x|的周期为T=π2.
答案:C
4.给出下列函数:①y=cos|2x|;②y=|cos x|;③y=cos2x+π6.其中最小正周期为π的函数为(　　)
A.①②③ B.①③ C.①② D.①
解析:由图象(略)知,①②的最小正周期均为π;y=cos2x+π6的最小正周期为π.
答案:A
5.已知函数f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的函数.若x∈-π2,π,有f(x)=cosx,-π2≤x≤0,sinx,0×(-3)+3π4=f3π4=sin3π4=22.
答案:B
6.函数f(x)=cos π4-πx3的周期是　　　　　. 
解析:T=2π-π3=2ππ3=6.
答案:6
7.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期是4π,则ω=　　　　　. 
解析:因为函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期是2πω=4π,所以ω=12.
答案:12
8.已知函数f(x)=ax3+bsin x+1,且f(1)=5,则f(-1)=　　　　　. 
解析:因为f(1)=a+bsin1+1=5,所以a+bsin1=4.
所以f(-1)=-a-bsin1+1=-(a+bsin1)+1=-4+1=-3.
答案:-3
9.若函数f(x)=2cosωx+π3的最小正周期为T,且T∈(1,3),求正整数ω的最大值.
解:因为函数f(x)=2cosωx+π3的最小正周期为T=2πω,又T∈(1,3),所以1<2πω<3.所以2π3<ω<2π.所以正整数ω的最大值是6.
10.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且当x∈0,π2时,f(x)=1-sin x,求当x∈5π2,3π时,f(x)的解析式.
解:当x∈5π2,3π时,3π-x∈0,π2.
∵当x∈0,π2时,f(x)=1-sinx,
∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.
又f(x)是以π为周期的偶函数,
∴f(3π-x)=f(-x)=f(x),
∴当x∈5π2,3π时,f(x)=1-sinx.
B组
1.函数y=|sinx|(1-sinx)1-sinx的奇偶性为(　　)
A.奇函数 B.既是奇函数也是偶函数
C.偶函数 D.非奇非偶函数
解析:由题意知,1-sinx≠0,即sinx≠1,所以函数y的定义域为xx≠2kπ+π2,k∈Z.
因为定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.
答案:D
2.若函数y=cosk4x+π3(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
解析:由题意可知最小正周期T=2πk4=8πk≤2,故k≥4π.又因为k∈N*,所以k的最小值为13,故选D.
答案:D
3.关于函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R),有下列命题:
①函数y=f(x)的表达式可改写为y=4cos2x-π6;
②函数y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③函数y=f(x)的图象关于点-π6,0对称;
④函数y=f(x)的图象关于直线x=-π6对称.
其中正确的是(　　)
A.②③ B.①③ C.①④ D.②④
解析:f(x)=4sin2x+π3=4cosπ2-2x+π3=4cosπ6-2x=4cos2x-π6,故①正确;
函数f(x)的最小正周期为π,故②错误;
由f-π6=4sin2×-π6+π3=0,可知函数y=f(x)的图象关于点-π6,0对称,不关于直线x=-π6对称,故③正确,④错误.
答案:B
4.函数y=sin2x+π4+2的最小正周期是　　　　　. 
解析:∵函数y=sin2x+π4的最小正周期T=π,
∴函数y=sin2x+π4+2的最小正周期是π2.
答案:π2
5.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2,则f(99)=　　　　　. 
解析:因为f(x)·f(x+2)=13,所以f(x+2)=13f(x).所以f(x+4)=13f(x+2)=f(x).
所以f(x)是以4为周期的函数.
所以f(99)=f(24×4+3)=f(3)=13f(1)=132.
答案:132
6.已知定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,f(x)的最小正周期是π,且当x∈0,π2时,f(x)=sin x.
(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在区间[-π,π]上的简图;
(3)求当f(x)≥12时x的取值范围.
解:(1)∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∵当x∈0,π2时,f(x)=sinx,
∴当x∈-π2,0时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.
又当x∈-π,-π2时,x+π∈0,π2,f(x)的周期为π,
∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.
∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.
(2)画出函数f(x)在区间[-π,π]上的简图如图.

(3)∵在区间[0,π]内,当f(x)=12时,x=π6或x=5π6,
∴在区间[0,π]内,当f(x)≥12时,x∈π6,5π6.
又f(x)的周期为π,
∴当f(x)≥12时,x的取值范围是[kπ+π6,kπ+5π6],k∈Z.
7.已知函数y=5cos2k+13πx-π6(其中k∈N),对任意实数a,在区间[a,a+3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,求k的值.
解:由5cos2k+13πx-π6=54,
得cos(2k+13πx-π6)=14.
因为函数y=cosx在每个周期内出现函数值为14有2次,而区间[a,a+3]的长度为3,所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次,必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度,即2×2π2k+13π≤3,且4×2π2k+13π≥3.
所以32≤k≤72.又k∈N,所以k=2,3.