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高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列导学案 新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

2.4　等比数列（一）
【教学目标】
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4　等比数列（一）》课件“情景导入”部分，从世界杂交水稻之父—袁隆平的实例及四个生活中遇到的问题入手，通过互相交流，既可感受袁隆平对中国和全世界作出的杰出贡献，从而激发学生的爱国热情，又能对等比数列的概念及简单应用形成初步的印象.
二、自主学习
教材整理1　等比数列的定义
阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
教材整理2　等比数列的通项公式
阅读教材P49倒数第1行～P51例3，完成下列问题．
1．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
2．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
三、合作探究
问题1　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；

④－1,1，－1,1，….
提示：从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
问题2　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
提示：设这个数为G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．
问题3 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
提示：等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N*)．
探究点1　证明等比数列
例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．
提示：由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列．
反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．
探究点2　等比数列通项公式的应用
命题角度1　方程思想
例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
提示：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么

②÷①，得q＝，将q＝代入①，
得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
命题角度2　等比数列的实际应用
例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
提示：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，
则0.84n＝0.5.
两边取对数，
得nlg0.84＝lg0.5，用计算器算得n≈4.
答　这种物质的半衰期大约为4年．
反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
探究点3　等比中项
例4　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)
A．± B. C．1 D．±1
提示：D　[∵1，a,3成等差数列，
∴a＝＝2，
∵1，b,4成等比数列，
∴b2＝1×4，b＝±2，
∴＝＝±1.]
反思与感悟　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．
四、当堂检测
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)
A．4 B．8 C．6 D．32
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
4．45和80的等比中项为________．
提示：1．C　2.C　3.A　4.－60或60
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．